2023年高考数学新高考Ⅰ-7

（5分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，设甲：

$\{a_{n}\}$ 为等差数列；乙：

$\{\dfrac{S_n}{n}\}$ 为等差数列，则

$($ 　　

$)$
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：

$C$
分析：首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
解：若

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，设数列

$\{a_{n}\}$ 的首项为

$a_{1}$ ，公差为

$d$ ，
则

$S_{n}=na_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}d$ ，
即

$\dfrac{{S}_{n}}{n}=a_{1}+\dfrac{n-1}{2}d=\dfrac{d}{2}n+a_{1}-\dfrac{d}{2}$ ，
故

$\{\dfrac{{S}_{n}}{n}\}$ 为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若

$\{\dfrac{{S}_{n}}{n}\}$ 为等差数列，则可设

$\dfrac{{S}_{n+1}}{n+1}-\dfrac{{S}_{n}}{n}=D$ ，
则

$\dfrac{{S}_{n}}{n}=S_{1}+(n-1)D$ ，即

$S_{n}=nS_{1}+n(n-1)D$ ，
当

$n\geqslant 2$ 时，有

$S_{n-1}=(n-1)S_{1}+(n-1)(n-2)D$ ，
上两式相减得：

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=S_{1}+2(n-1)D$ ，
当

$n=1$ 时，上式成立，所以

$a_{n}=a_{1}+2(n-1)D$ ，
则

$a_{n+1}-a_{n}=a_{1}+2nD-[a_{1}+2(n-1)D]=2D$ （常数），
所以数列

$\{a_{n}\}$ 为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：

$C$ ．
点评：本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．

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数列

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