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直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
Ⅰ、直线与圆的位置关系:

Ⅱ、直线与圆的位置关系的判断方法与步骤:
⑴几何方法:
依圆心到直线的距离与半径长的大小关系做出判断。其步骤为:
1° 把直线方程化为一般式,求出圆心和半径r;
2° 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
3° 作判断:当时,直线与圆相离;当时,直线与圆相切;当时,直线与圆相交。

⑵代数方法:
联立直线与圆方程的方程组,由方程组解的个数做出判断。其步骤为:
1° 将直线方程与圆的方程联立成方程组;
2° 利用消元法,得到关于某一个元的一元二次方程;
3° 求出一元二次方程的判别式Δ的值;
4° 比较Δ与0的大小:若,则直线与圆相离;若,则直线与圆相切;若,则直线与圆相交。反之也成立。
详解:

圆与直线位置关系的特点研究:
设圆与直线相交于两点,若直线的斜率为,则弦长

或    ,其中是圆心到直线的距离(据垂径分弦定理)。

设圆与直线相切:
1o 若已知圆与直线相切于点
则已知切点的圆切线方程为


或    (据圆的切线判定定理)。
2o 若过已知圆外一点,求圆的切线方程。
设过圆外一点的圆的切线方程为

求得,于是可得求切线方程。
注意,过圆外一点的圆的切线一定有两条,若求得只有一个解,那么一定存在另一条垂直于轴的切线。

3o 若已知切线的斜率为,求圆的切线方程。
设圆的切线方程为
求得,于是可求得切线方程。
设圆与直线相离,则可求与圆距离最近与最远的点,或求直线与圆最短与最长的距离。
设圆,直线
1o 方法1:求圆心到直线的距离,则圆上点到直线的距离的最大值为,最小值为
     
2o 方法2:平行于直线的动直线与圆相切时,平行线之间的距离就是直线与圆的最短或最远的距离。
  

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