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2021年高考数学乙卷-理9

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9．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点

$E$ ，

$H$ ，

$G$ 在水平线

$AC$ 上，

$DE$ 和

$FG$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，

$EG$ 称为“表距”，

$GC$ 和

$EH$ 都称为“表目距”，

$GC$ 与

$EH$ 的差称为“表目距的差”，则海岛的高

$AB=$ (　　)

A．

$\dfrac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+$ 表高 B．

$\dfrac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-$ 表高
C．

$\dfrac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+$ 表距 D．

$\dfrac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-$ 表距
分析：根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．
解：

$\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EH}{AH}$ ，

$\dfrac{FG}{BA}=\dfrac{CG}{CA}$ ，故

$\dfrac{EH}{AH}=\dfrac{CG}{CA}$ ，即

$\dfrac{EH}{AE+EH}=\dfrac{CG}{AE+EG+GC}$ ，
解得

$AE=\dfrac{EH\cdot EG}{CG-EH}$ ，

$AH=AE+EH$ ，
故

$AB=\dfrac{DE\cdot AH}{EH}=\dfrac{DE\left( AE+EH \right)}{EH}=\dfrac{\;DE\cdot AE}{EH}+\dfrac{DE\cdot EH}{EH}=\dfrac{DE\cdot EG}{CG-EH}+DE=\dfrac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+$ 表高．
故选：

$A$ ．

点评：本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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