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2021年高考数学乙卷-理10

10.(5分)设$a\ne 0$,若$x=a$为函数$f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$的极大值点,则(  )
A.$a<b$              B.$a>b$              C.$ab<a^{2}$              D.$ab>a^{2}$
分析:分$a>0$及$a<0$,结合三次函数的性质及题意,通过图象发现$a$,$b$的大小关系,进而得出答案.
解:令$f(x)=0$,解得$x=a$或$x=b$,即$x=a$及$x=b$是$f(x)$的两个零点,
当$a>0$时,由三次函数的性质可知,要使$x=a$是$f(x)$的极大值点,则函数$f(x)$的大致图象如下图所示,

则$0<a<b$;
当$a<0$时,由三次函数的性质可知,要使$x=a$是$f(x)$的极大值点,则函数$f(x)$的大致图象如下图所示,

则$b<a<0$;
综上,$ab>a^{2}$.
故选:$D$.
点评:本题考查三次函数的图象及性质,考查导数知识的运用,考查数形结合思想,属于中档题.
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