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高考数学必做百题第74题(理科2017版)

 074.已知圆:x2+y2+6x8y1=0与直线:x+y3=0相交于A,B两点,求圆心在直线3xy5=0上,并且经过A,B两点的圆D的方程。

L074.png

解法1:如图,由方程组{x2+y2+6x8y1=0x+y3=0
解得{x=223y=5+23{x=2+23y=523
A(223,5+23),B(2+23,523)
那么线段中点为(2,5)。 
∴线段的中垂线方程为y5=542+3(x+2),即xy+7=0
{xy+7=03xy5=0{x=6y=13
∴所求圆的圆心D的坐标是(6,13)
|DA|=238, 
∴所求圆D的方程为(x6)2+(y13)2=152
x2+y212x26y+53=0
解法2:设过圆:x2+y2+6x8y1=0与直线:x+y3=0交点的圆的方程为
x2+y2+6x8y1+λ(x+y3)=0
x2+y2+(6+λ)x(8λ)y13λ=0
其圆心D坐标是(6+λ2,8λ2), 
∵圆心D3xy5=0上,
3(6+λ)28λ25=0,解得λ=18
∴所求的圆的方程为x2+y2+6x47(x2+y2+6y28)=0
x2+y212x26y+53=0

 

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