高考数学必做百题第73题（理科2017版）

（1）若圆心$C$也在直线$y=x-1$上，过点$A$作圆$C$的切线，求切线的方程；

（2）若圆$C$上存在点$M$，使$MA=2MO$，求圆心$C$的横坐标$a$的取值范围。

     

解:（1）由$\left\{ \begin{align}  & y=2x-4 \\ & y=x-1 \\ \end{align} \right.$解得圆心$C$为$\left( 32 \right)$,

∵圆$C$的半径为$l$，

∴圆$C$的方程为${{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=0$。

设所求圆$C$的切线方程为$y=kx+3$,

即$kx-y+3=0$，∵圆$C$的半径为$l$，

∴$\dfrac{\left| 3k-2+3 \right|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}}=1$，即$\left| 3k+1 \right|=\sqrt{{{k}^{2}}+1}$，

∴$2k(4k+3)=0$，∴$k=0$或$k=-\dfrac{3}{4}$。 

∴所求圆$C$的切线方程为$y=3$或者$y=-\dfrac{3}{4}x+3$，即$y=3$或$3x+4y-12=0$。（应用点线距法求圆的切线方程，这是常用的简单的方法）

（2）解:∵圆$C$的圆心在直线$l:y=2x-4$上, 

∴设圆心$C$为$\left( a,2a-4 \right)$， 

则圆$C$的方程为${{(x-a)}^{2}}+{{\left[ y-(2a-4) \right]}^{2}}=1$。 

设$M$为$\left( x,y \right)$，∵$MA=2MO$，则

$\sqrt{{{x}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}}=2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$，

（隐含直接法求轨迹方程）

整理得${{x}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=4$，设为圆$D$， 

显然，点$M$既在圆$C$上，又在圆$D$上，即圆$C$和圆$D$有交点， 

∴$\left| 2-1 \right|\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left[ (2a-4)-(-1) \right]}^{2}}}\le \left| 2+1 \right|$，即

$\left\{ \begin{matrix}   5{{a}^{2}}-8a+8\ge 0  \\   5{{a}^{2}}-12a\le 0\quad   \\\end{matrix} \right.$，解得$0\le a\le \dfrac{12}{5}$。

综上所述，所以$a$的取值范围为$\left[ 0,\dfrac{12}{5} \right]$。