高考数学必做百题第75题（理科2017版）

（1）求$k$的取值范围；

（2）设$Q(m,n)$是线段$MN$上的点，且$\dfrac{2}{|OQ{{|}^{2}}}=\dfrac{1}{|OM{{|}^{2}}}+\dfrac{1}{|ON{{|}^{2}}}$，请将$n$表示为$m$的函数。

解：（1）将$y=kx$代入${{x}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=4$得 

$(1+{{k}^{2}})  {{x}^{2}}-8kx+12=0$   (*) 

∵直线$l:y=kx$与圆$C$交于$M,N$两点，

∴$\Delta ={{(-8k)}^{2}}-4(1+{{k}^{2}})\times 12>0$，解得${{k}^{2}}>3$。

∴$k$的取值范围是$\left( -\infty ,  -\sqrt{3} \right)\bigcup \left( \sqrt{3},  +\infty  \right)$。  

（2）∵$M,N$在直线$l$上,可设点$M,N$的坐标分别为$({{x}_{1}},  k{{x}_{1}})$,$({{x}_{2}},  k{{x}_{2}})$，则 

${{\left| OM \right|}^{2}}=(1+{{k}^{2}}){{x}_{1}}^{2}$,${{\left| ON \right|}^{2}}=(1+{{k}^{2}}){{x}_{2}}^{2}$,

又${{\left| OQ \right|}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}=(1+{{k}^{2}})  {{m}^{2}}$, 

由$\dfrac{2}{{{\left| OQ \right|}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left| OM \right|}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left| ON \right|}^{2}}}$得,

$\dfrac{2}{(1+{{k}^{2}})  {{m}^{2}}}=\dfrac{1}{(1+{{k}^{2}})  {{x}_{1}}^{2}}+\dfrac{1}{(1+{{k}^{2}})  {{x}_{2}}^{2}}$, 

∴$\dfrac{2}{{{m}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}^{2}}=\dfrac{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2  {{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$， 

由方程(*)知${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{8k}{1+{{k}^{2}}}$,${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{12}{1+{{k}^{2}}}$, 

∴${{m}^{2}}=\dfrac{36}{5{{k}^{2}}-3}$, 

∵点$Q(m,n)$在直线$l$上，

∴$k=\dfrac{n}{m}$,代入${{m}^{2}}=\dfrac{36}{5{{k}^{2}}-3}$可得$5{{n}^{2}}-3{{m}^{2}}=36$, 

∴${{m}^{2}}=\dfrac{36}{5{{k}^{2}}-3}$，∵${{k}^{2}}>3$，

∴$0<{{m}^{2}}<3$，即 $m\in \left( -\sqrt{3},  0 \right)\bigcup \left( 0,  \sqrt{3} \right)$. 

∵点$Q(m,n)$在圆$C$内，则$n>0$,

又$5{{n}^{2}}-3{{m}^{2}}=36$，

∴$n=\sqrt{\dfrac{36+3{{m}^{2}}}{5}}=\dfrac{\sqrt{15{{m}^{2}}+180}}{5}$, 

于是, $n$与$m$的函数关系为

$n=\dfrac{\sqrt{15{{m}^{2}}+180}}{5}$ ($m\in \left( -\sqrt{3},  0 \right)\bigcup \left( 0,  \sqrt{3} \right)$) 。