解法1：如图，由方程组$\left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y-1=0 \\ & x+y-3=0 \\ \end{align} \right.$，

解得$\left\{ \begin{align} & x=-2-2\sqrt{3} \\ & y=5+2\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$或$\left\{ \begin{align} & x=-2\text{+}2\sqrt{3} \\ & y=5-2\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$，

∴$\therefore A(-2-2\sqrt{3},5+2\sqrt{3}),B(-2+2\sqrt{3},5-2\sqrt{3})$，

那么线段中点为$(-2,5)$。 

∴线段的中垂线方程为$y-5=\dfrac{5-4}{-2+3}(x+2)$，即$x-y+7=0$。

由$\left\{ \begin{align}  & x-y+7=0 \\ & 3x-y-5=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=6 \\ & y=13 \\ \end{align} \right.$，

∴所求圆的圆心$D$的坐标是$(6,13)$。

又$\left| DA \right|=2\sqrt{38}$， 

∴所求圆$D$的方程为${{(x-6)}^{2}}+{{(y-13)}^{2}}=152$

即${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-12x-26y+53=0$。

解法2：设过圆：${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y-1=0$与直线：$x+y-3=0$交点的圆的方程为

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y-1+\lambda (x+y-3)=0$，

即${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+(6+\lambda )x-(8-\lambda )y-1-3\lambda =0$

其圆心$D$坐标是$\left( -\dfrac{6+\lambda }{2},\dfrac{8-\lambda }{2} \right)$， 

∵圆心$D$在$3x-y-5=0$上，

∴$-\dfrac{3(6+\lambda )}{2}-\dfrac{8-\lambda }{2}-5=0$，解得$\lambda =-18$。

∴所求的圆的方程为${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-4-7({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6y-28)=0$，

即${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-12x-26y+53=0$。