高考数学必做百题第62题（理科2017版）

（1）由某几何体的三视图说明这是什么几何体？

（2）求几何体内部的小几何体的表面积和体积；

（3）求外部几何体的表面积。  

解：（1）由三视图可知，这个几何体的外部是球面，内部是一个内接正六棱柱。

（2）如图，几何体内部的正六棱柱设为$ABCDEF-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}{{E}_{1}}{{F}_{1}}$，则

${{S}_{}}\text{=2}{{S}_{}}\text{+}{{S}_{}}$ $\text{=}2\times 6\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}{{\left( \text{0}\text{.5} \right)}^{\text{2}}}\text{+}3\times \sqrt{3}\text{=}\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$，

${{\text{V}}_{}}=Sh=6\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}B{{C}^{2}}\cdot \sqrt{3}$

$=6\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}{{\left( 0.5 \right)}^{2}}\cdot \sqrt{3}=\dfrac{9}{8}$。

（3）由三视图可知外部几何体是球。如图，设正六棱柱的底面$ABCDEF$的外接圆$O'$，正六棱柱最大的对角面$ADD'A'$与大圆$O$相接，

∵$BC=\dfrac{1}{2}$，∴$AD=1$，

又$AA'=\sqrt{3}$，

设球的半径为$R$，则

$2R=AD'=\sqrt{A{{D}^{2}}+AA{{'}^{2}}}=2$，即$R=1$。

∴${{S}_{}}\text{=4}\pi {{R}^{2}}\text{=}4\pi$。

∴所求外部几何体球的表面积为$4\pi$。

点、直线、平面之间位置关系