高考数学必做百题第61题（理科2017版）

空间几何体三视图与求积

061.（1）（2016新课标Ⅰ理6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。若该几何体的体积是$\dfrac{28\pi }{3}$,则它的表面积是（  ）

A.$17\pi$     B.$18\pi$  

C.$20\pi$     D.$28\pi$

（2）（2016天津 理11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3 。

解：（1）该几何体直观图如图所示：

∴几何体是一个球被切掉左上角的$\dfrac{1}{8}$。

设球的半径为$\text{R}$，则$\text{V}=\dfrac{7}{8}\times \dfrac{4}{3}\pi {{\text{R}}^{3}}=\dfrac{28\pi }{3}$，

解得$R=2$。

∴几何体的表面积是$\dfrac{7}{8}$的球面面积和三个扇形面积之和，其表面积为

$S\text{=}\dfrac{7}{8}\times 4\pi \times {{2}^{2}}\text{+3}\times \dfrac{1}{4}\pi \times {{2}^{2}}\text{=}17\pi$。故选A。

考点：几何体三视图，球表面积公式，扇形面积公式。

（2）由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底边为2，高为1，

∴体积为$V=\dfrac{1}{3}\times (2\times 1)\times 3=2$。

∴该四棱锥的体积为$2{{m}^{2}}$。

考点：锥的体积公式。