高考数学必做百题第55题（理科2017版）

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055.（1）设 ${{\left( 1+x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ ，若 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=63$ ，则展开式中系数最大的项是(　　)

$A$ ．15x2

$B$ ．20x3

$C$ ．21x3

$D$ ．35x3

（2）设

$a\in Z$ ，且

$0\le a<13$ ，若

${{51}^{2015}}+a$ 能被

$13$ 整除，则

$a$ 值为 (　　)

$A$ ．0

$B$ ．1

$C$ ．12

$D$ ．14

（3）(2014济南质检)

$\left( x+\dfrac{a}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　)

$A$ ．－40

$B$ ．－20

$C$ ．20

$D$ ．40

解：（1）∵

${{\left( 1+x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ ，

∴令

$x=0$ ，得

${{a}_{0}}=1$ ；

令

$x=1$ ，则

${{\left( 1+1 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=64$ ，

∴

$n=6$ 。

∵

${{\left( 1+x \right)}^{6}}$ 的展开式二项式系数最大项的系数最大，

∴

${{\left( 1+x \right)}^{6}}$ 的展开式系数最大项为

${{T}_{4}}=C_{6}^{3}{{x}^{3}}=20{{x}^{3}}$ 。故选

$B$ 。

（2）

${{51}^{2015}}+a={{\left( 52-1 \right)}^{2015}}+a$

$=C_{2015}^{0}{{52}^{2015}}+C_{2015}^{1}{{52}^{2014}}{{\left( -1 \right)}^{1}}+\cdots$

$+C_{2015}^{2014}52{{\left( -1 \right)}^{2014}}+C_{2015}^{2015}{{\left( -1 \right)}^{2015}}+a$

∵

$C_{2015}^{0}{{52}^{2015}}+C_{2015}^{1}{{52}^{2014}}{{\left( -1 \right)}^{1}}+\cdots +C_{2015}^{2014}52{{\left( -1 \right)}^{2014}}$ 能被13整除，

又

${{51}^{2015}}+a$ 能被13整除，

∴

$C_{2015}^{2015}{{\left( -1 \right)}^{2015}}+a=-1+a$ 也能被13整除，

∴

$a$ 可取值14。故选

$D$ 。

（3）在

$\left( x+\dfrac{a}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 中，令

$x=1$ ，得

$\left( 1+a \right){{\left( 2-1 \right)}^{5}}=1+a=2$ ，∴

$a=1$ 。

∵

${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式的通项

${{T}_{r+1}}=C_{5}^{r}{{\left( 2x \right)}^{5-r}}{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{r}}=C_{5}^{r}{{\left( -1 \right)}^{r}}{{2}^{5-r}}{{x}^{5-2r}}$ 。

①令

$5-2r=1$ ，得

$r=2$ ，

∴

${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式中

$x$ 的系数为

$C_{5}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}{{2}^{5-2}}=80$ ；

②令

$5-2r=-1$ ，得

$r=3$ ，

∴

${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式中

$\dfrac{1}{x}$ 的系数为

$C_{5}^{3}{{\left( -1 \right)}^{3}}{{2}^{5-3}}=-40$ 。

∴

$\left( x+\dfrac{1}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式中常数项为

$80-40=40$ 。故选

$D$ 。

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