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高考数学必做百题第55题(理科2017版)<-->高考数学必做百题第57题(理科2017版)
056.(1)从$1,2,3,4,5$中任取2个不同的数,事件$A$为“取到的2个数之和为偶数”,事件$B$为“取到的2个数均为偶数”,求条件概率$P\left( B|A \right)$;
(2)要制造一种机器零件,甲机床废品率为$0.05$,而乙机床废品率为$0.1$,而它们的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求:
①其中至少有一件废品的概率;②其中至多有一件废品的概率。
解:(1)∵“取到的2个数之和为偶数”分为“奇奇”或“偶偶”,
∴$P\left( A \right)=\dfrac{C_{3}^{2}+C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$。
∵$AB$表示事件$A,B$同时发生,
∴$P\left( AB \right)=\dfrac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\dfrac{1}{10}$。
由条件概率计算公式,得
$P\left( B|A \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{1}{4}$。
(2)设事件$A$为“从甲机床抽得的一件是废品”;$B$为“从乙机床抽得的一件是废品”,则
$P(A)=0.05,\ \ P(B)=0.1$。
∵事件$A,B$相互独立,
∴事件$A,B,\overline{A},\overline{B}$,$A\cdot B,\overline{A}\cdot B,A\cdot \overline{B}$都相互独立。
①至少有一件废品的概率为
$P=P(A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot B+A\cdot B)$ $\text{=}P\left( A \right)P\left( \overline{B} \right)+P\left( \overline{A} \right)P\left( B \right)+P\left( A \right)P\left( B \right)$$=0.05\times 0.9+0.95\times 0.1+0.05\times 0.1=0.145$,
或$P(A+B)=1-P(\overline{A+B})=1-P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$
$=1-0.95\times 0.90=0.145$。
②至多有一件废品的概率为
$P=P(A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot B+\overline{A}\cdot \overline{B})$
$\text{=}P\left( A \right)P\left( \overline{B} \right)+P\left( \overline{A} \right)P\left( B \right)+P\left( \overline{A} \right)P\left( \overline{B} \right)$
$=0.05\times 0.9+0.95\times 0.1+0.95\times 0.9=0.995$。
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