高考数学必做百题第54题（理科2017版）

（2）四个不同的小球放入编号为$1,2,3,4$的四个盒子中。

①若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？

②恰有一个空盒的放法共有多少种？

解：（1）分三类：

①若取$1$个黑球，则取另三个非黑球，4个不同的球排成$4$个位置，∴有$A_{4}^{4}=24$种；

②若取$2$个黑球，则从另三个非黑球中选$2$个，排成$4$个位置，

∵$2$个黑球是相同的，不需要排列，

∴有$C_{3}^{2}A_{4}^{2}=36$种；

③若取$3$个黑球，则从另三个非黑球中选$1$个，排成$4$个位置，

∵$3$个黑球是相同的，不需要排列，

∴有$C_{3}^{1}A_{4}^{1}=12$种；

∴共有$24+36+12=72$种排法。

（2）①每个盒子放一球，共有A＝24种不同的放法；

②解法1：先选后排，分三步完成。

第1步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；

第2步：选两球为一个元素，有$C_{4}^{2}$种选法；

第3步：三个元素放入三个盒中，有$A_{3}^{3}$种放法。

∴共有$4C_{4}^{2}A_{3}^{3}=144$种放法。

解法2：先分组后排列，看作分配问题。

第1步：在四个盒子中选三个，有$C_{4}^{3}$种选法；

第2步：将四个球分成2,1,1三组，有$C_{4}^{2}$ 或$\dfrac{C_{4}^{2}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}$种分法；

第3步：将三组分到选定的三个盒子中，有$A_{3}^{3}$种分法。

∴共有$C_{4}^{3}C_{4}^{2}A_{3}^{3}=144$种分法。