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高考数学必做百题第55题（理科2017版）

2016-10-05 10:15:33

055.（1）设 ${{\left( 1+x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ ，若 ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=63$ ，则展开式中系数最大的项是(　　) $A$ ．15x2 $B$ ．20x3 $C$ ．21x3 $D$ ．35x3 （2）设 $a\in Z$ ，且 $0\le a<13$ ，若 ${{51}^{2015}}+a$ 能被 $13$ 整除，则 $a$ 值为 (　　) $A$ ．0 $B$ ．1 $C$ ．12 $D$ ．14 （3）(2014济南质检) $\left( x+\dfrac{a}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　) $A$ ．－40 $B$ ．－20 $C$ ．20 $D$ ．40 解：（1）∵ ${{\left( 1+x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\cdots +{{a}_{n}}{{x}^{n}}$ ， ∴令 $x=0$ ，得 ${{a}_{0}}=1$ ；令 $x=1$ ，则 ${{\left( 1+1 \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=64$ ， ∴ $n=6$ 。 ∵ ${{\left( 1+x \right)}^{6}}$ 的展开式二项式系数最大项的系数最大， ∴ ${{\left( 1+x \right)}^{6}}$ 的展开式系数最大项为 ${{T}_{4}}=C_{6}^{3}{{x}^{3}}=20{{x}^{3}}$ 。故选 $B$ 。（2） ${{51}^{2015}}+a={{\left( 52-1 \right)}^{2015}}+a$ $=C_{2015}^{0}{{52}^{2015}}+C_{2015}^{1}{{52}^{2014}}{{\left( -1 \right)}^{1}}+\cdots$ $+C_{2015}^{2014}52{{\left( -1 \right)}^{2014}}+C_{2015}^{2015}{{\left( -1 \right)}^{2015}}+a$ ∵ $C_{2015}^{0}{{52}^{2015}}+C_{2015}^{1}{{52}^{2014}}{{\left( -1 \right)}^{1}}+\cdots +C_{2015}^{2014}52{{\left( -1 \right)}^{2014}}$ 能被13整除，又 ${{51}^{2015}}+a$ 能被13整除， ∴ $C_{2015}^{2015}{{\left( -1 \right)}^{2015}}+a=-1+a$ 也能被13整除， ∴ $a$ 可取值14。故选 $D$ 。（3）在 $\left( x+\dfrac{a}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 中，令 $x=1$ ，得 $\left( 1+a \right){{\left( 2-1 \right)}^{5}}=1+a=2$ ，∴ $a=1$ 。 ∵ ${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式的通项 ${{T}_{r+1}}=C_{5}^{r}{{\left( 2x \right)}^{5-r}}{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{r}}=C_{5}^{r}{{\left( -1 \right)}^{r}}{{2}^{5-r}}{{x}^{5-2r}}$ 。 ①令 $5-2r=1$ ，得 $r=2$ ， ∴ ${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式中 $x$ 的系数为 $C_{5}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}{{2}^{5-2}}=80$ ； ②令 $5-2r=-1$ ，得 $r=3$ ， ∴ ${{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式中 $\dfrac{1}{x}$ 的系数为 $C_{5}^{3}{{\left( -1 \right)}^{3}}{{2}^{5-3}}=-40$ 。 ∴ $\left( x+\dfrac{1}{x} \right){{\left( 2x-\dfrac{1}{x} \right)}^{5}}$ 展开式中常数项为 $80-40=40$ 。故选 $D$ 。

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