高考数学必做百题第05题（文科2017版）

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005.（1）下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题定为真；

②命题“设$a,b\in R$，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；

③$''x>2''$是$''\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}''$的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题肯定为真。

其中说法不正确的序号是_______；

（2）已知$p：x^2 －8x－20≤0，q：x^2 －2x＋1－a2 ≤0(a>0)$．若p是q的充分不必要条件，则实数$a$的取值范围是________。

解：（1）①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系。故错误；（原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假。它们是等价命题）

②此命题的逆否命题为“设$a,b\in R$，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，

∴原命题也是真命题。故错误；（等价命题可以相互转化）

③$\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}$，则$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-x}{2x}<0$，解得x<0或x>2，∴$''x>2''$是$''\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}''$充分不必要条件，故正确；

（$\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x<0x>2$）

④∵否命题和逆命题是互为逆否命题，∴真假性相同，故正确。

综上所述，说法不正确的序号是①②。

考点：命题真假，四命题，充分必要条件。

（2）$p$：${{x}^{2}}-8x-20\le 0\Leftrightarrow -2\le x\le 10$，

$q$：${{x}^{2}}-2x+1-{{a}^{2}}\le 0\Leftrightarrow 1-a\le x\le 1+a$。

（通过解不等式，把命题$p,q$等价转化）

∵p是q的充分不必要条件，即$p\Rightarrow q$， $q$   $p$，

∴$\left\{ \begin{matrix}   1-a\le -2,  \\   1+a\ge 10,  \\\end{matrix} \right.\left( a>0 \right)$，解得$a\ge 9$。

∴所求实数$a$的取值范围是$\left[ 9,+\infty  \right)$。

考点：充分必要条件。

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