高考数学必做百题第06题（文科2017版）

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006. 已知命题$p$：方程$x^2 +mx+1=0$有两个不相等的负实根，命题$q$：不等式$4x^2 +4(m-2)x+1>0$的解集为$R$。若$p$或$q$为真命题、$p$且$q$为假命题，求实数$m$的取值范围。

解：命题$p$：方程$x^2 +mx+1=0$有两个不相等的负实根

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta \text{=}{{m}^{2}}-4>0  \\   m>0\begin{matrix}   {} & {} & {}  \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2$。

命题$q$：不等式$4x^2 +4(m-2)x+1>0$的解集为$R$

$\Leftrightarrow \Delta =16{{\left( m-2 \right)}^{2}}-16<0\Leftrightarrow 1<m<3$。

（通过二次方程、二次不等式相关解集，把命题$p,q$等价转化为简单的集合）

若p或q为真命题、p且q为假命题等价于p真且q假，或p假且q真。

①p真且q假 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m>2\begin{matrix}   {} & {} & {}  \\\end{matrix}  \\   m\le 1m\ge 3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\ge 3$；

②p假且q真 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m\le 2\quad   \\   1<m<3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 2$。

综上所述，实数$m$的取值范围为$\left( 1,2 \right]\bigcup \left[ 3,+\infty  \right)$。

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