高考数学必做百题第04题（文科2017版）

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004. 设集合$A=\{x|x\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)=0\}$，$B=\{x|a{{x}^{2}}=1\}$。 

（1）若$B\subseteq A$，求实数$a$的值；

（2）若$a=4$，求$A\bigcup B$的真子集个数。

解：（1）$A=\left\{ \text{-}1,0,2 \right\}$，

①当$a\le 0$时，$B=\Phi$，

∴$B\subseteq A$；

②当$a>0$时，$B=\left\{ -\dfrac{1}{\sqrt{a}},\dfrac{1}{\sqrt{a}} \right\}$，

∵$B\subseteq A$，必须$-\dfrac{1}{\sqrt{a}}=-1$或$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=2$

∴$a=1$或$a=\dfrac{1}{4}$。

∵$a=1$时，$B\text{=}\left\{ -1,1 \right\}\varsubsetneq A$；

$a=\dfrac{1}{4}$时，$B\text{=}\left\{ -\text{2},2 \right\}\varsubsetneq A$。

∴$B\subseteq A$，所求实数a的值是$a\le 0$。

（2）若$a=4$，则$A=\left\{ \text{-}1,0,2 \right\}$，$B=\left\{ -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right\}$，

∴$A\bigcup B=\left\{ -1,-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2},2 \right\}$，此时$A\bigcup B$的真子集有${{2}^{5}}-1=31$个。

（若集合有$n$个元素，则其子集的个数为${{2}^{n}}$个，其真子集的个数为${{2}^{n}}-1$个）

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