2024年高考数学上海春11

（5分）正方形草地

$ABCD$ 边长1.2，

$E$ 到

$AB$ ，

$AD$ 距离为0.2，

$F$ 到

$BC$ ，

$CD$ 距离为0.4，有个圆形通道经过

$E$ ，

$F$ ，且与

$AD$ 只有一个交点，求圆形通道的周长____．（精确到

$0.01)$

答案：2.73．
分析：先确定圆的圆心坐标和半径，从而得出结论．
解：以

$A$ 为原点，线段

$AB$ 所在直线为

$x$ 轴，

$AD$ 所在直线为

$y$ 轴，建立直角坐标系，
易知

$E(0.2,0.2)$ ，

$F(0.8,0.8)$ ．
不妨设

$EF$ 中点为

$M(0.5,0.5)$ 直线

$EF$ 中垂线所在直线方程为

$y-0.5=-(x-0.5)$ ，
化简得

$y=-x+1$ ．
所以可设圆心为

$(a,-a+1)$ ，半径为

$a$ ，且经过

$E$ ，

$F$ 点，
即

$(a-0.2)^{2}+(-a+1-0.2)^{2}=a^{2}$ ，
化简得

$a^{2}-2a+0.68=0$ ，求得

$a=\dfrac{2\pm \sqrt{1.28}}{2}=1\pm \sqrt{0.32}=1\pm \dfrac{4\sqrt{2}}{10}$ ．
结合题意可得，

$a=1-\dfrac{4\sqrt{2}}{10}=0.434$ ．
故有圆的周长

$C=2\pi a=2.725\approx 2.73$ ．
点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，圆的标准方程，属于中档题．

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