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2024年高考数学上海春12

2024年高考数学上海春11<-->2024年高考数学上海春13

（5分）

$a_{1}=2$ ，

$a_{2}=4$ ，

$a_{3}=8$ ，

$a_{4}=16$ ，任意

$b_{1}$ ，

$b_{2}$ ，

$b_{3}$ ，

$b_{4}\in R$ ，满足

$\{a_{i}+a_{j}\vert 1\leqslant i < j\leqslant 4\}=\{b_{i}+b_{j}\vert 1\leqslant i < j\leqslant 4\}$ ，求有序数列

$\{b_{1}$ ，

$b_{2}$ ，

$b_{3}$ ，

$b_{4}\}$ 有____对．

答案：48．
分析：由题意得

$\{a_{i}+a_{j}\vert 6$ ，10，12，18，20，

$24\}$ ，设

$b_{1} < b_{2} < b_{3} < b_{4}$ ，由单调性有

$b_{1}+b_{2}=6$ ，

$b_{1}+b_{3}=10$ ，

$b_{2}+b_{4}=20$ ，

$b_{3}+b_{4}=24$ ，分类讨论可求解．
解：由题意得

$\{a_{i}+a_{j}\vert 6$ ，10，12，18，20，

$24\}$ ，
满足

$\{a_{1}+a_{j}\vert 1\leqslant i < j\leqslant 4\}=\{b_{1}+b_{j}\vert 1\leqslant i < j\leqslant 4\}$ ，
不妨设

$b_{1} < b_{2} < b_{3} < b_{4}$ ，
由单调性有

$b_{1}+b_{2}=6$ ，

$b_{1}+b_{3}=10$ ，

$b_{2}+b_{4}=20$ ，

$b_{3}+b_{4}=24$ ，
分两种情况讨论：
①

$b_{2}+b_{3}=12$ ，

$b_{1}+b_{4}=18$ ，
解得

$b_{1}=2$ ，

$b_{2}=4$ ，

$b_{3}=8$ ，

$b_{4}=16$ ，
②

$b_{2}+b_{3}=18$ ，

$b_{1}+b_{4}=12$ ，
解得

$b_{1}=-1$ ，

$b_{2}=7$ ，

$b_{3}=11$ ，

$b_{4}=13$ ，
所以有2种，
综上共有

$2{A}_{4}^{4}=48$ 对．
故答案为：48．
点评：本题综合考查了数列，不等式的应用，属于难题．

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