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2024年高考数学上海春10

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（5分）已知四棱柱

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 底面

$ABCD$ 为平行四边形，

$AA_{1}=3$ ，

$BD=4$ 且

$\overrightarrow{A{B}_{1}}\cdot \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{A{D}_{1}}\cdot \overrightarrow{DC}=5$ ，求异面直线

$AA_{1}$ 与

$BD$ 的夹角 ____．

答案：

$\arccos \dfrac{5}{12}$ ．
分析：由题将

$\overrightarrow{A{B}_{1}}\cdot \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{A{D}_{1}}\cdot \overrightarrow{DC}=5$ 转化为

$\overrightarrow{AA_{1}}\cdot \overrightarrow{BD}=5$ 即可求解．
解：如图，

因为

${\overrightarrow{AB}}_{1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_{1}},\overrightarrow{A{D}_{1}}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$ ，又

$\overrightarrow{A{B}_{1}}\cdot \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{A{D}_{1}}\cdot \overrightarrow{DC}=5$ ，

$\therefore$

$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_{1}})\cdot \overrightarrow{AD}-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}})\cdot \overrightarrow{DC}=5$ ，
化简得

$\overrightarrow{AA_{1}}\cdot \overrightarrow{BD}=5$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{A{A}_{1}}\cdot \overrightarrow{BD}=3\times 4\times \cos \theta =5$ ，

$\therefore$

$\cos \theta =\dfrac{5}{12}$ ．
异面直线

$AA_{1}$ 与

$BD$ 的夹角为

$\arccos \dfrac{5}{12}$ ．
点评：本题考查向量法求立体几何中的线线角，属于中档题．

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