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2024年高考数学北京15

  2024-08-28 22:32:50  

(5分)已知M={k|ak=bk}{an}{bn}不为常数列且各项均不相同,下列正确的是____.
{an}{bn}均为等差数列,则M中最多一个元素;
{an}{bn}均为等比数列,则M中最多三个元素;
{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多三个元素;
{an}单调递增,{bn}单调递减,则M中最多一个元素.
分析:根据散点图的特征可判断①④的正误,举出反例可判断②的正误,由通项公式的特征以及反证法,即可判断③的正误.
解:对于①,{an}{bn}均为等差数列,M={k|ak=bk}{an}{bn}不为常数列且各项均不相同,
故它们的散点图分布在直线上,而两条直线至多有一个公共点,
所以M中至多一个元素,故①正确;
对于②,令an=2n1bn=(2)n1,满足{an}{bn}均为等比数列,
但当n为偶数时,an=2n1=bn=(2)n1,此时M中有无穷多个元素,故②错误;
对于③,设bn=Aqn(Aq0,q±1)an=kn+b(k0)
M中至少四个元素,则关于n的方程Aqn=kn+b至少有4个不同的正数解,
q<0q±1,考虑关于n的方程Aqn=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数,
Aqn=kn+b有偶数解,此方程即为A|q|n=kn+b
方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时Akln|q|>0
否则Akln|q|<0,因为y=A|q|ny=kn+b单调性相反,
方程A|q|n=kn+b至多一个偶数解,
Aqn=kn+b有奇数解,此方程即为A|q|n=kn+b
方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时Akln|q|>0,即Akln|q|<0
否则Akln|q|>0
因为y=A|q|ny=kn+b单调性相反,
方程A|q|n=kn+b至多一个奇数解,
因为Akln|q|>0Akln|q|<0不可能同时成立,
q>0q1
则由y=Aqny=kn+b的散点图可得关于n的方程Aqn=kn+b至多有两个不同的解,矛盾;
Aqn=kn+b不可能有4个不同的正数解,故③正确.
对于④,因为{an}为单调递增,{bn}为递减数列,M={k|ak=bk}{an}{bn}不为常数列且各项均不相同,
前者散点图呈上升趋势,后者的散点图呈下降趋势,
两者至多一个交点,故④正确.
故答案为:①③④.
点评:本题主要考查等差、等比的性质,考查转化能力,属于难题.

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