2024年高考数学北京15 |
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2024-08-28 22:32:50 |
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(5分)已知M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项均不相同,下列正确的是____. ①{an},{bn}均为等差数列,则M中最多一个元素; ②{an},{bn}均为等比数列,则M中最多三个元素; ③{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多三个元素; ④{an}单调递增,{bn}单调递减,则M中最多一个元素. 分析:根据散点图的特征可判断①④的正误,举出反例可判断②的正误,由通项公式的特征以及反证法,即可判断③的正误. 解:对于①,{an},{bn}均为等差数列,M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项均不相同, 故它们的散点图分布在直线上,而两条直线至多有一个公共点, 所以M中至多一个元素,故①正确; 对于②,令an=2n−1,bn=−(−2)n−1,满足{an},{bn}均为等比数列, 但当n为偶数时,an=2n−1=bn=−(−2)n−1,此时M中有无穷多个元素,故②错误; 对于③,设bn=Aqn(Aq≠0,q≠±1),an=kn+b(k≠0), 若M中至少四个元素,则关于n的方程Aqn=kn+b至少有4个不同的正数解, 若q<0,q≠±1,考虑关于n的方程Aqn=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数, 当Aqn=kn+b有偶数解,此方程即为A|q|n=kn+b, 方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时Akln|q|>0, 否则Akln|q|<0,因为y=A|q|n,y=kn+b单调性相反, 方程A|q|n=kn+b至多一个偶数解, 当Aqn=kn+b有奇数解,此方程即为−A|q|n=kn+b, 方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时−Akln|q|>0,即Akln|q|<0, 否则Akln|q|>0, 因为y=−A|q|n,y=kn+b单调性相反, 方程A|q|n=kn+b至多一个奇数解, 因为Akln|q|>0,Akln|q|<0不可能同时成立, 若q>0,q≠1, 则由y=Aqn和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aqn=kn+b至多有两个不同的解,矛盾; 故Aqn=kn+b不可能有4个不同的正数解,故③正确. 对于④,因为{an}为单调递增,{bn}为递减数列,M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项均不相同, 前者散点图呈上升趋势,后者的散点图呈下降趋势, 两者至多一个交点,故④正确. 故答案为:①③④. 点评:本题主要考查等差、等比的性质,考查转化能力,属于难题.
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