2023年高考数学新高考Ⅱ-6

（5分）已知函数

$f(x)=ae^{x}-\ln x$ 在区间

$(1,2)$ 上单调递增，则

$a$ 的最小值为

$($ 　　

$)$
A．

$e^{2}$ B．

$e$ C．

$e^{-1}$ D．

$e^{-2}$
答案：

$C$
分析：对函数

$f(x)$ 求导，根据题意可得

$a\geqslant \dfrac{1}{x{e}^{x}}$ 在

$(1,2)$ 上恒成立，设

$g(x)=\dfrac{1}{x{e}^{x}},x\in (1,2)$ ，利用导数求出函数

$g(x)$ 的最大值即可得解．
解：对函数

$f(x)$ 求导可得，

${f}'(x)=a{e}^{x}-\dfrac{1}{x}$ ，
依题意，

$a{e}^{x}-\dfrac{1}{x}\geqslant 0$ 在

$(1,2)$ 上恒成立，
即

$a\geqslant \dfrac{1}{x{e}^{x}}$ 在

$(1,2)$ 上恒成立，
设

$g(x)=\dfrac{1}{x{e}^{x}},x\in (1,2)$ ，则

${g}'(x)=\dfrac{-({e}^{x}+x{e}^{x})}{(x{e}^{x})^{2}}=-\dfrac{{e}^{x}(x+1)}{(x{e}^{x})^{2}}$ ，
易知当

$x\in (1,2)$ 时，

$g\prime (x) < 0$ ，
则函数

$g(x)$ 在

$(1,2)$ 上单调递减，
则

$a\geqslant g(x)_{max}=g(1)=\dfrac{1}{e}={e}^{-1}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．

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函数

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