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2023年高考数学新高考Ⅱ-5

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（5分）已知椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$ 的左焦点和右焦点分别为

$F_{1}$ 和

$F_{2}$ ，直线

$y=x+m$ 与

$C$ 交于点

$A$ ，

$B$ 两点，若△

$F_{1}AB$ 面积是△

$F_{2}AB$ 面积的两倍，则

$m=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{2}{3}$ B．

$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ C．

$-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ D．

$-\dfrac{2}{3}$
答案：

$C$
分析：记直线

$y=x+m$ 与

$x$ 轴交于

$M(-m,0)$ ，由题意可得

$\vert -\sqrt{2}-x_{M}\vert =2\vert \sqrt{2}-x_{M}\vert$ ，求解即可．
解：记直线

$y=x+m$ 与

$x$ 轴交于

$M(-m,0)$ ，
椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$ 的左，右焦点分别为

$F_{1}(-\sqrt{2}$ ，

$0)$ ，

$F_{2}(\sqrt{2}$ ，

$0)$ ，
由△

$F_{1}AB$ 面积是△

$F_{2}AB$ 的2倍，可得

$\vert F_{1}M\vert =2\vert F_{2}M\vert$ ，

$\therefore \vert -\sqrt{2}-x_{M}\vert =2\vert \sqrt{2}-x_{M}\vert$ ，解得

$x_{M}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ 或

$x_{M}=3\sqrt{2}$ ，

$\therefore -m=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ 或

$-m=3\sqrt{2}$ ，

$\therefore m=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ 或

$m=-3\sqrt{2}$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\ {y=x+m}\end{array}\right.$ 可得，

$4x^{2}+6mx+3m^{2}-3=0$ ，

$\because$ 直线

$y=x+m$ 与

$C$ 相交，所以△

$> 0$ ，解得

$m^{2} < 4$ ，

$\therefore m=-3\sqrt{2}$ 不符合题意，
故

$m=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．

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