2023年高考数学新高考Ⅱ-7

（5分）已知

$\alpha$ 为锐角，

$\cos \alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ ，则

$\sin \dfrac{\alpha }{2}=($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}$ B．

$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{8}$ C．

$\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ D．

$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
答案：

$D$
分析：根据已知条件，结合二倍角公式，以及角

$\alpha$ 的取值范围，即可求解．
解：

$\cos \alpha =\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ ，
则

$\cos \alpha =1-2si{n}^{2}\dfrac{\alpha }{2}$ ，
故

$2si{n}^{2}\dfrac{\alpha }{2}=1-\cos \alpha =\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}$ ，即

$si{n}^{2}\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}=\dfrac{(\sqrt{5})^{2}+{1}^{2}-2\sqrt{5}}{16}=\dfrac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{16}$ ，

$\because \alpha$ 为锐角，

$\therefore$

$\sin \dfrac{\alpha }{2} > 0$ ，

$\therefore \sin \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．

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