2023年高考数学新高考Ⅱ-4

（5分）若

$f(x)=(x+a)\ln \dfrac{2x-1}{2x+1}$ 为偶函数，则

$a=($ 　　

$)$
A．

$-1$ B．0 C．

$\dfrac{1}{2}$ D．1
答案：

$B$
分析：求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
解：由

$\dfrac{2x-1}{2x+1} > 0$ ，得

$x > \dfrac{1}{2}$ 或

$x < -\dfrac{1}{2}$ ，
由

$f(x)$ 是偶函数，

$\therefore f(-x)=f(x)$ ，
得

$(-x+a)\ln \dfrac{-2x-1}{-2x+1}=(x+a)\ln \dfrac{2x-1}{2x+1}$ ，
即

$(-x+a)\ln \dfrac{2x+1}{2x-1}=(-x+a)\ln (\dfrac{2x-1}{2x+1})^{-1}=(x-a)\ln \dfrac{2x-1}{2x+1}=(x+a)\ln \dfrac{2x-1}{2x+1}$ ，

$\therefore x-a=x+a$ ，得

$-a=a$ ，
得

$a=0$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．

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函数

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