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2023年高考数学上海春19

  2023-07-08 14:37:18  

(14分)为了节能环保、节约材料,定义建筑物的“体形系数” $S=\dfrac{F_0}{V_0}$,其中$F_{0}$为建筑物暴露在空气中的面积(单位:平方米),$V_{0}$为建筑物的体积(单位:立方米).
(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为$R$,高度为$H$,暴露在空气中的部分为上底面和侧面,试求该建筑体的“体形系数” $S$;(结果用含$R$、$H$的代数式表示)
(2)定义建筑物的“形状因子”为$f=\dfrac{L^2}{A}$,其中$A$为建筑物底面面积,$L$为建筑物底面周长,又定义$T$为总建筑面积,即为每层建筑面积之和(每层建筑面积为每一层的底面面积).设$n$为某宿舍楼的层数,层高为3米,则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为$S=\sqrt{\dfrac{f\cdot n}{T}}+\dfrac{1}{3n}$.当$f=18$,$T=10000$时,试求当该宿舍楼的层数$n$为多少时,“体形系数” $S$最小.
分析:(1)利用圆柱体的表面积和体积公式,结合题目中$S$的定义求解即可;
(2)利用导函数求$S$的单调性,即可求出$S$最小时$n$的值.
解:(1)由圆柱体的表面积和体积公式可得:
${F}_{0}=2\pi RH+\pi R^{2}\cdot {V}_{0}=\pi R^{2}H$,
所以$S=\dfrac{{F}_{0}}{{V}_{0}}=\dfrac{\pi R(2H+R)}{\pi R^{2}H}=\dfrac{2H+R}{HR}$.
(2)由题意可得$S=\sqrt{\dfrac{18n}{10000}}+\dfrac{1}{3n}=\dfrac{3\sqrt{2n}}{100}+\dfrac{1}{3n}$,$n\in N^{*}$,
所以$S\prime =\dfrac{3\sqrt{2}}{200\sqrt{n}}-\dfrac{1}{3{n}^{2}}=\dfrac{9\sqrt{2}{n}^{\dfrac{3}{2}}-200}{600{n}^{2}}$,
令$S\prime =0$,解得$n=\sqrt[3]{\dfrac{20000}{81}}\approx 6.27$,
所以$S$在$[1$,$6.27]$单调递减,在$[6.27$,$+\infty )$单调递增,
所以$S$的最小值在$n=6$或7取得,
当$n=6$时,$S=\dfrac{3\sqrt{2\times 6}}{100}+\dfrac{1}{3\times 6}\approx 0.31$,
当$n=7$时,$S=\dfrac{3\sqrt{2\times 7}}{100}+\dfrac{1}{3\times 7}\approx 0.16$,
所以在$n=6$时,该建筑体$S$最小.
点评:本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型,属于中档题.

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