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2023年高考数学上海春18

  2023-07-08 14:37:00  

(14分)在$\Delta ABC$中,角$A$、$B$、$C$所对应的边分别为$a$、$b$、$c$,其中$b=2$.
(1)若$A+C=120^\circ$,$a=2c$,求边长$c$;
(2)若$A-C=15^\circ$,$a=\sqrt{2}c\sin A$,求$\Delta ABC$的面积.
分析:(1)由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求$A$,$B$,$C$,然后结合锐角三角函数即可求解;
(2)由已知结合正弦定理先求出$\sin C$,进而可求$C$,再由正弦定理求出$a$,结合三角形面积公式可求.
解:(1)$\because A+C=120^\circ$,且$a=2c$,
$\therefore \sin A=2\sin C=2\sin (120^\circ -A)=\sqrt{3}\cos A+\sin A$,
$\therefore \cos A=0$,
$\therefore A=90^\circ$,$C=30^\circ$,$B=60^\circ$,
$\because b=2$,
$\therefore c=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$;
(2)$a=\sqrt{2}c\sin A$,
则$\sin A=\sqrt{2}\sin C\sin A$,
$\sin A > 0$,
$\therefore \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
$\because A-C=15^\circ$,
$\therefore C$为锐角,
$\therefore C=45^\circ$,$A=60^\circ$,$B=75^\circ$,
$\therefore$$\dfrac{a}{\sin 60^\circ }=\dfrac{2}{\sin 75^\circ }=\dfrac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$,
$\therefore a=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$,
$\therefore S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\times 2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{3}$.
点评:本题主要考查了和差角公式,正弦定理,三角形的面积公式在求解三角形中的应用,属于中档题.

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