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2023年高考数学乙卷-理11<-->2023年高考数学乙卷-理13
（5分）已知$\odot O$的半径为1，直线$PA$与$\odot O$相切于点$A$，直线$PB$与$\odot O$交于$B$，$C$两点，$D$为$BC$的中点，若$\vert PO\vert =\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PD}$的最大值为$($ $)$
A．$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ B．$\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}$ C．$1+\sqrt{2}$ D．$2+\sqrt{2}$
答案：$A$
分析：设$\angle OPC=\alpha$，则$-\dfrac{\pi }{4}\leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi }{4}$，根据题意可得$\angle APO=45^\circ$，再将$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PD}$转化为$\alpha$的函数，最后通过函数思想，即可求解．
解：如图，设$\angle OPC=\alpha$，则$-\dfrac{\pi }{4}\leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi }{4}$，
根据题意可得：$\angle APO=45^\circ$，
$\therefore$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PD}=\vert \overrightarrow{PA}\vert \cdot \vert \overrightarrow{PD}\vert \cdot \cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})$
$=1\times \sqrt{2}\cos \alpha \cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})$
$=\cos ^{2}\alpha -\sin \alpha \cos \alpha$
$=\dfrac{1+\cos 2\alpha -\sin 2\alpha }{2}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos (2\alpha +\dfrac{\pi }{4})$，又$-\dfrac{\pi }{4}\leqslant \alpha \leqslant \dfrac{\pi }{4}$，
$\therefore$当$2\alpha +\dfrac{\pi }{4}=0$，$\alpha =-\dfrac{\pi }{8}$，$\cos (2\alpha +\dfrac{\pi }{4})=1$时，
$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PD}$取得最大值$\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：$A$．
点评：本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．
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