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2023年高考数学乙卷-理10<-->2023年高考数学乙卷-理12
（5分）设$A$，$B$为双曲线$x^{2}-\dfrac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段$AB$中点的是$($ $)$
A．$(1,1)$ B．$(-1,2)$ C．$(1,3)$ D．$(-1,-4)$
答案：$D$
分析：设$AB$中点为$(x_{0}$，$y_{0})$，利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．
解：设$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，$AB$中点为$(x_{0}$，$y_{0})$，
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}^{2}-\dfrac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1 \\
{{x}_{2}}^{2}-\dfrac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1 \\
\end{array} \right.$，
①$-$②得$k_{AB}=\dfrac{{y}_{2-}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=9\times \dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=9\times \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
即$-3 < 9\times \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}} < 3\Rightarrow -\dfrac{1}{3} < \dfrac{{x}_{0}}{{y}_{0}} < \dfrac{1}{3}$，
即$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}} > 3$或$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}} < -3$，
故$A$、$B$、$C$错误，$D$正确．
故选：$D$．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．
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