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2023年高考数学乙卷-理9

2023年高考数学乙卷-理8<-->2023年高考数学乙卷-理10

（5分）已知

$\Delta ABC$ 为等腰直角三角形，

$AB$ 为斜边，

$\Delta ABD$ 为等边三角形，若二面角

$C-AB-D$ 为

$150^\circ$ ，则直线

$CD$ 与平面

$ABC$ 所成角的正切值为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{1}{5}$ B．

$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$ C．

$\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ D．

$\dfrac{2}{5}$
答案：

$C$
分析：取

$AB$ 的中点

$E$ ，连接

$CE$ ，

$DE$ ，则根据题意易得二面角

$C-AB-D$ 的平面角为

$\angle CED=150^\circ$ ，又易知平面

$CED\bot$ 平面

$ABC$ ，从而得直线

$CD$ 与平面

$ABC$ 所成角为

$\angle DCE$ ，再解三角形，即可求解．
解：如图，取

$AB$ 的中点

$E$ ，连接

$CE$ ，

$DE$ ，

则根据题意易得

$AB\bot CE$ ，

$AB\bot DE$ ，

$\therefore$ 二面角

$C-AB-D$ 的平面角为

$\angle CED=150^\circ$ ，

$\because AB\bot CE$ ，

$AB\bot DE$ ，且

$CE\bigcap DE=E$ ，

$\therefore AB\bot$ 平面

$CED$ ，又

$AB\subset$ 平面

$ABC$ ，

$\therefore$ 平面

$CED\bot$ 平面

$ABC$ ，

$\therefore CD$ 在平面

$ABC$ 内的射影为

$CE$ ，

$\therefore$ 直线

$CD$ 与平面

$ABC$ 所成角为

$\angle DCE$ ，
过

$D$ 作

$DH$ 垂直

$CE$ 所在直线，垂足点为

$H$ ，
设等腰直角三角形

$ABC$ 的斜边长为2，
则可易得

$CE=1$ ，

$DE=\sqrt{3}$ ，又

$\angle DEH=30^\circ$ ，

$\therefore DH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$EH=\dfrac{3}{2}$ ，

$\therefore CH=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$ ，

$\therefore \tan \angle DCE=\dfrac{DH}{CH}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查二面角的概念，线面角的求解，化归转化思想，属中档题．

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