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2023年高考数学乙卷-理8

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（5分）已知圆锥

$PO$ 的底面半径为

$\sqrt{3}$ ，

$O$ 为底面圆心，

$PA$ ，

$PB$ 为圆锥的母线，

$\angle AOB=120^\circ$ ，若

$\Delta PAB$ 的面积等于

$\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为

$($ 　　

$)$
A．

$\pi$ B．

$\sqrt{6}\pi$ C．

$3\pi$ D．

$3\sqrt{6}\pi$
答案：

$B$
分析：根据题意，设该圆锥的高为

$h$ ，即

$PO=h$ ，取

$AB$ 的中点

$E$ ，连接

$PE$ ，利用余弦定理求出

$AB$ 的长，分析可得

$PE\bot AB$ ，由三角形面积公式求出

$PE$ 的长，由此求出

$h$ 的值，由圆锥的体积计算可得答案．
解：根据题意，设该圆锥的高为

$h$ ，即

$PO=h$ ，取

$AB$ 的中点

$E$ ，连接

$PE$ 、

$OE$ ，

由于圆锥

$PO$ 的底面半径为

$\sqrt{3}$ ，即

$OA=OB=\sqrt{3}$ ，
而

$\angle AOB=120^\circ$ ，故

$AB=\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA\cdot OB\cdot \cos 120^\circ }=\sqrt{3+3+3}=3$ ，
同时

$OE=OA\times \sin 30^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\Delta PAB$ 中，

$PA=PB$ ，

$E$ 为

$AB$ 的中点，则有

$PE\bot AB$ ，
又由

$\Delta PAB$ 的面积等于

$\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ ，即

$\dfrac{1}{2}PE\cdot AB=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$ ，变形可得

$PE=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ，
而

$PE=\sqrt{{h}^{2}+\dfrac{3}{4}}$ ，则有

$h^{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{4}$ ，解可得

$h=\sqrt{6}$ ，
故该圆锥的体积

$V=\dfrac{1}{3}\pi \times (\sqrt{3})^{2}h=\sqrt{6}\pi$ ．
故选：

$B$ ．

点评：本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．

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