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2023年高考数学乙卷-理7<-->2023年高考数学乙卷-理9
（5分）已知圆锥$PO$的底面半径为$\sqrt{3}$，$O$为底面圆心，$PA$，$PB$为圆锥的母线，$\angle AOB=120^\circ$，若$\Delta PAB$的面积等于$\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的体积为$($ $)$
A．$\pi$ B．$\sqrt{6}\pi$ C．$3\pi$ D．$3\sqrt{6}\pi$
答案：$B$
分析：根据题意，设该圆锥的高为$h$，即$PO=h$，取$AB$的中点$E$，连接$PE$，利用余弦定理求出$AB$的长，分析可得$PE\bot AB$，由三角形面积公式求出$PE$的长，由此求出$h$的值，由圆锥的体积计算可得答案．
解：根据题意，设该圆锥的高为$h$，即$PO=h$，取$AB$的中点$E$，连接$PE$、$OE$，
由于圆锥$PO$的底面半径为$\sqrt{3}$，即$OA=OB=\sqrt{3}$，
而$\angle AOB=120^\circ$，故$AB=\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA\cdot OB\cdot \cos 120^\circ }=\sqrt{3+3+3}=3$，
同时$OE=OA\times \sin 30^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\Delta PAB$中，$PA=PB$，$E$为$AB$的中点，则有$PE\bot AB$，
又由$\Delta PAB$的面积等于$\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$，即$\dfrac{1}{2}PE\cdot AB=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$，变形可得$PE=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$，
而$PE=\sqrt{{h}^{2}+\dfrac{3}{4}}$，则有$h^{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{27}{4}$，解可得$h=\sqrt{6}$，
故该圆锥的体积$V=\dfrac{1}{3}\pi \times (\sqrt{3})^{2}h=\sqrt{6}\pi$．
故选：$B$．
点评：本题考查圆锥的体积计算，注意圆锥的体积计算公式，属于基础题．
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