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2023年高考数学乙卷-理10

2023年高考数学乙卷-理9<-->2023年高考数学乙卷-理11

（5分）已知等差数列

$\{a_{n}\}$ 的公差为

$\dfrac{2\pi }{3}$ ，集合

$S=\{\cos a_{n}\vert n\in N^{*}\}$ ，若

$S=\{a$ ，

$b\}$ ，则

$ab=($ 　　

$)$
A．

$-1$ B．

$-\dfrac{1}{2}$ C．0 D．

$\dfrac{1}{2}$
答案：

$B$
分析：根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．
解：设等差数列

$\{a_{n}\}$ 的首项为

$a_{1}$ ，又公差为

$\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$\therefore$

${a}_{n}={a}_{1}+\dfrac{2\pi }{3}(n-1)$ ，

$\therefore$

$\cos {a}_{n}=\cos (\dfrac{2n\pi }{3}+{a}_{1}-\dfrac{2\pi }{3})$ ，其周期为

$\dfrac{2\pi }{\dfrac{2\pi }{3}}=3$ ，
又根据题意可知

$S$ 集合中仅有两个元素，

$\therefore$ 可利用对称性，对

$a_{n}$ 取特值，
如

$a_{1}=0$ ，

${a}_{2}=\dfrac{2\pi }{3}$ ，

${a}_{3}=\dfrac{4\pi }{3}$ ，

$\cdot \cdot \cdot$ ，或

${a}_{1}=-\dfrac{\pi }{3}$ ，

${a}_{2}=\dfrac{\pi }{3}$ ，

$a_{3}=\pi$ ，

$\cdot \cdot \cdot$ ，
代入集合

$S$ 中计算易得：

$ab=-\dfrac{1}{2}$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题考查等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，属中档题．

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