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2023年高考数学乙卷-理9

  2023-07-08 11:42:27  

(5分)已知ΔABC为等腰直角三角形,AB为斜边,ΔABD为等边三角形,若二面角CABD150,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(  )
A.15              B.25              C.35              D.25
答案:C
分析:取AB的中点E,连接CEDE,则根据题意易得二面角CABD的平面角为CED=150,又易知平面CED平面ABC,从而得直线CD与平面ABC所成角为DCE,再解三角形,即可求解.
解:如图,取AB的中点E,连接CEDE

则根据题意易得ABCEABDE
二面角CABD的平面角为CED=150
ABCEABDE,且CEDE=E
AB平面CED,又AB平面ABC
平面CED平面ABC
CD在平面ABC内的射影为CE
直线CD与平面ABC所成角为DCE
DDH垂直CE所在直线,垂足点为H
设等腰直角三角形ABC的斜边长为2,
则可易得CE=1DE=3,又DEH=30
DH=32EH=32CH=1+32=52
tanDCE=DHCH=3252=35
故选:C
点评:本题考查二面角的概念,线面角的求解,化归转化思想,属中档题.

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