（16分）已知椭圆$\Gamma :\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+y^{2}=1(a > 1)$，$A$、$B$两点分别为$\Gamma$的左顶点、下顶点，$C$、$D$两点均在直线$l:x=a$上，且$C$在第一象限．
（1）设$F$是椭圆$\Gamma$的右焦点，且$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$，求$\Gamma$的标准方程；
（2）若$C$、$D$两点纵坐标分别为2、1，请判断直线$AD$与直线$BC$的交点是否在椭圆$\Gamma$上，并说明理由；
（3）设直线$AD$、$BC$分别交椭圆$\Gamma$于点$P$、点$Q$，若$P$、$Q$关于原点对称，求$\vert CD\vert$的最小值．
分析：（1）根据条件可得$\tan \angle AFB=\dfrac{1}{c}$，解出$c$，利用$a2=b2+c2$，求得$a$，即可求得答案；
（2）分别表示出此时直线$BC$、直线$AD$的方程，求出其交点，验证即可；
（3）设$P(a\cos \theta ,\sin \theta )$，$Q(-a\cos \theta ,-\sin \theta )$，表示出直线$BP$、直线$AQ$方程，解出$C$、$D$坐标，表示出$\vert CD\vert$，再利用基本不等式即可求出答案．
解：（1）由题可得$B(0,-1)$，$F(c,0)$，
因为$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$，所以$\tan \angle AFB=\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{c}=\tan \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，解得$c=\sqrt{3}$，
所以$a2=1+(\sqrt{3})2=4$，故$\Gamma$的标准方程为$\dfrac{{x}^{2}}{4}+y2=1$；
（2）直线$AD$与直线$BC$的交点在椭圆上，
由题可得此时$A(-a,0)$，$B(0,-1)$，$C(a,2)$，$D(a,1)$，
则直线$BC:y=\dfrac{3}{a}x-1$，直线$AD:y=\dfrac{1}{2a}x+\dfrac{1}{2}$，交点为$(\dfrac{3a}{5}$，$\dfrac{4}{5})$，满足$\dfrac{(\dfrac{3a}{5})^{2}}{{a}^{2}}+(\dfrac{4}{5})^{2}=1$，
故直线$AD$与直线$BC$的交点在椭圆上；
（3）$B(0,-1)$，$P(a\cos \theta ,\sin \theta )$，则直线$BP:y=\dfrac{\sin \theta +1}{a\cos \theta }x-1$，所以$C(a,\dfrac{\sin \theta +1}{\cos \theta }-1)$，
$A(-a,0)$，$Q(-a\cos \theta ,-\sin \theta )$，则直线$AQ:y=\dfrac{\sin \theta }{a\cos \theta -a}(x+a)$，所以$D(a,\dfrac{2\sin \theta }{\cos \theta -1})$，
所以$\vert CD\vert =\dfrac{\sin \theta +1}{\cos \theta }-1-\dfrac{2\sin \theta }{\cos \theta -1}=\dfrac{2\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}+\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}+\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}}{\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}-\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}}-\dfrac{4\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}}{-2\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}}-1$，
设$\tan \dfrac{\theta }{2}=t$，则$\vert CD\vert =2(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t})-2$，
因为$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant \dfrac{4}{a+b}$，所以$\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t}\geqslant \dfrac{4}{1-t+t}=4$，
则$\vert CD\vert \geqslant 6$，即$\vert CD\vert$的最小值为6．
点评：本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题．