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2021年高考数学新高考Ⅰ-11

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（5分）已知点

$P$ 在圆

$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$ 上，点

$A(4,0)$ ，

$B(0,2)$ ，则(　　)
A．点

$P$ 到直线

$AB$ 的距离小于10
B．点

$P$ 到直线

$AB$ 的距离大于2
C．当

$\angle PBA$ 最小时，

$\vert PB\vert =3\sqrt{2}$
D．当

$\angle PBA$ 最大时，

$\vert PB\vert =3\sqrt{2}$
分析：求出过

$AB$ 的直线方程，再求出圆心到直线

$AB$ 的距离，得到圆上的点

$P$ 到直线

$AB$ 的距离范围，判断

$A$ 与

$B$ ；画出图形，由图可知，当过

$B$ 的直线与圆相切时，满足

$\angle PBA$ 最小或最大，求出圆心与

$B$ 点间的距离，再由勾股定理求得

$\vert PB\vert$ 判断

$C$ 与

$D$ ．
解：

$\because A(4,0)$ ，

$B(0,2)$ ，

$\therefore$ 过

$A$ 、

$B$ 的直线方程为

$\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$ ，即

$x+2y-4=0$ ，
圆

$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=16$ 的圆心坐标为

$(5,5)$ ，
圆心到直线

$x+2y-4=0$ 的距离

$d=\dfrac{\vert 1\times 5+2\times 5-4\vert }{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac{11}{\sqrt{5}}=\dfrac{11\sqrt{5}}{5}>4$ ，

$\therefore$ 点

$P$ 到直线

$AB$ 的距离的范围为

$[\dfrac{11\sqrt{5}}{5}-4$ ，

$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}+4]$ ，

$\because$

$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}<5$ ，

$\therefore$

$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}-4<1$ ，

$\dfrac{11\sqrt{5}}{5}+4<10$ ，

$\therefore$ 点

$P$ 到直线

$AB$ 的距离小于10，但不一定大于2，故

$A$ 正确，

$B$ 错误；
如图，当过

$B$ 的直线与圆相切时，满足

$\angle PBA$ 最小或最大

$(P$ 点位于

$P_{1}$ 时

$\angle PBA$ 最小，位于

$P_{2}$ 时

$\angle PBA$ 最大），
此时

$\vert BC\vert =\sqrt{(5-0)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ ，

$\therefore \vert PB\vert =\sqrt{\vert BC{\vert }^{2}-{4}^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ ，故

$CD$ 正确．
故选：ACD．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．

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