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2021年高考数学新高考Ⅰ-10

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（5分）已知

$O$ 为坐标原点，点

$P_{1}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ ，

$P_{2}(\cos \beta ,-\sin \beta )$ ，

$P_{3}(\cos (\alpha +\beta )$ ，

$\sin (\alpha +\beta ))$ ，

$A(1,0)$ ，则(　　)
A．

$\vert \overrightarrow{O{P}_{1}}\vert =\vert \overrightarrow{O{P}_{2}}\vert$
B．

$\vert \overrightarrow{A{P}_{1}}\vert =\vert \overrightarrow{A{P}_{2}}\vert$
C．

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}}=\overrightarrow{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{2}}$
D．

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_{1}}=\overrightarrow{O{P}_{2}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}}$
分析：由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．
解：

$\because P_{1}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ ，

$P_{2}(\cos \beta ,-\sin \beta )$ ，

$P_{3}(\cos (\alpha +\beta )$ ，

$\sin (\alpha +\beta ))$ ，

$A(1,0)$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{O{P}_{1}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ ，

$\overrightarrow{O{P}_{2}}=(\cos \beta ,-\sin \beta )$ ，

$\overrightarrow{O{P}_{3}}=(\cos (\alpha +\beta )$ ，

$\sin (\alpha +\beta ))$ ，

$\overrightarrow{OA}=(1,0)$ ，

$\overrightarrow{A{P}_{1}}=(\cos \alpha -1,\sin \alpha )$ ，

$\overrightarrow{A{P}_{2}}=(\cos \beta -1,-\sin \beta )$ ，
则

$\vert \overrightarrow{O{P}_{1}}\vert =\sqrt{co{s}^{2}\alpha +si{n}^{2}\alpha }=1$ ，

$\vert \overrightarrow{O{P}_{2}}\vert =\sqrt{co{s}^{2}\beta +(-\sin \beta )^{2}}=1$ ，则

$\vert \overrightarrow{O{P}_{1}}\vert =\vert \overrightarrow{O{P}_{2}}\vert$ ，故

$A$ 正确；

$\vert \overrightarrow{A{P}_{1}}\vert =\sqrt{(\cos \alpha -1)^{2}+si{n}^{2}\alpha }=\sqrt{co{s}^{2}\alpha +si{n}^{2}\alpha -2\cos \alpha +1}=\sqrt{2-2\cos \alpha }$ ，

$\vert \overrightarrow{A{P}_{2}}\vert =\sqrt{(\cos \beta -1)^{2}+(-\sin \beta )^{2}}=\sqrt{co{s}^{2}\beta +si{n}^{2}\beta -2\cos \beta +1}=\sqrt{2-2\cos \beta }$ ，

$\vert \overrightarrow{A{P}_{1}}\vert \ne \vert \overrightarrow{A{P}_{2}}\vert$ ，故

$B$ 错误；

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}}=1\times \cos (\alpha +\beta )+0\times \sin (\alpha +\beta )=\cos (\alpha +\beta )$ ，

$\overline{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{2}}=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}}=\overrightarrow{O{P}_{1}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{2}}$ ，故

$C$ 正确；

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_{1}}=1\times \cos \alpha +0\times \sin \alpha =\cos \alpha$ ，

$\overrightarrow{O{P}_{2}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}}=\cos \beta \cos (\alpha +\beta )-\sin \beta \sin (\alpha +\beta )=\cos [\beta +(\alpha +\beta )]=\cos (\alpha +2\beta )$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_{1}}\ne \overrightarrow{O{P}_{2}}\cdot \overrightarrow{O{P}_{3}}$ ，故

$D$ 错误．
故选：

$AC$ ．
点评：本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题．

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