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2021年高考数学乙卷-理19<-->2021年高考数学乙卷-理21
20．（12分）已知函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明：g(x)<1．
分析：（1）确定函数f(x)的定义域，令t(x)=xf(x)，由极值的定义得到t′(x)=0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；
（2）将问题转化为证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，进一步转化为证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，令h(x)=x+(1−x)ln(1−x)，利用导数研究h(x)的单调性，证明h(x)>h(0)，即可证明．
（1）解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,a)，
令t(x)=xf(x)，则t(x)=xln(a−x)，x∈(−∞,a)，
则t′(x)=ln(a−x)+x⋅−1a−x=ln(a−x)+−xa−x，
因为x=0是函数y=xf(x)的极值点，则有t′(0)=0，即lna=0，所以a=1，
当a=1时，t′(x)=ln(1−x)+−x1−x=ln(1−x)+−11−x+1，且t′(0)=0，
因为t″(x)=−11−x+−1(1−x)2=x−2(1−x)2<0，
则t′(x)在(−∞,1)上单调递减，
所以当x∈(−∞,0)时，t′(x)>0，
当x∈(0,1)时，t′(x)<0，
所以a=1时，x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点．
综上所述，a=1；
（2）证明：由（1）可知，xf(x)=xln(1−x)，
要证x+f(x)xf(x)<1，即需证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，
因为当x∈(−∞,0)时，xln(1−x)<0，
当x∈(0,1)时，xln(1−x)<0，
所以需证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，即x+(1−x)ln(1−x)>0，
令h(x)=x+(1−x)ln(1−x)，
则h′(x)=(1−x)⋅−11−x+1−ln(1−x)，
所以h′(0)=0，当x∈(−∞,0)时，h′(x)<0，
当x∈(0,1)时，h′(x)>0，
所以x=0为h(x)的极小值点，
所以h(x)>h(0)=0，即x+ln(1−x)>xln(1−x)，
故x+ln(1−x)xln(1−x)<1，
所以x+f(x)xf(x)<1．
点评：本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．
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