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2021年高考数学乙卷-理19

2021年高考数学乙卷-理18<-->2021年高考数学乙卷-理20

19．（12分）记

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，

$b_{n}$ 为数列

$\{S_{n}\}$ 的前

$n$ 项积，已知

$\dfrac{2}{{S}_{n}}+\dfrac{1}{{b}_{n}}=2$ ．
（1）证明：数列

$\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（2）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式．
分析：（1）由题意当

$n=1$ 时，

$b_{1}=S_{1}$ ，代入已知等式可得

$b_{1}$ 的值，当

$n\geqslant 2$ 时，将

$\dfrac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=S_{n}$ ，代入

$\dfrac{2}{{S}_{n}}+\dfrac{1}{{b}_{n}}=2$ ，可得

$b_{n}-b_{n-1}=\dfrac{1}{2}$ ，进一步得到数列

$\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（2）由

$a_{1}=S_{1}=b_{1}=\dfrac{3}{2}$ ，可得

$b_{n}=\dfrac{n+2}{2}$ ，代入已知等式可得

$S_{n}=\dfrac{n+2}{n+1}$ ，当

$n\geqslant 2$ 时，

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=-\dfrac{1}{n(n+1)}$ ，进一步得到数列

$\{a_{n}\}$ 的通项公式．
解：（1）证明：当

$n=1$ 时，

$b_{1}=S_{1}$ ，
由

$\dfrac{2}{{b}_{1}}+\dfrac{1}{{b}_{1}}=2$ ，解得

$b_{1}=\dfrac{3}{2}$ ，
当

$n\geqslant 2$ 时，

$\dfrac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=S_{n}$ ，代入

$\dfrac{2}{{S}_{n}}+\dfrac{1}{{b}_{n}}=2$ ，
消去

$S_{n}$ ，可得

$\dfrac{2\;{b}_{n-1}}{{b}_{n}}+\dfrac{1}{{b}_{n}}=2$ ，所以

$b_{n}-b_{n-1}=\dfrac{1}{2}$ ，
所以

$\{b_{n}\}$ 是以

$\dfrac{3}{2}$ 为首项，

$\dfrac{1}{2}$ 为公差的等差数列．
（2）由题意，得

$a_{1}=S_{1}=b_{1}=\dfrac{3}{2}$ ，
由（1），可得

$b_{n}=\dfrac{3}{2}+(n-1)\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{n+2}{2}$ ，
由

$\dfrac{2}{{S}_{n}}+\dfrac{1}{{b}_{n}}=2$ ，可得

$S_{n}=\dfrac{n+2}{n+1}$ ，
当

$n\geqslant 2$ 时，

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\dfrac{\;n+2}{n+1}-\dfrac{n+1}{n}=-\dfrac{1}{n(n+1)}$ ，显然

$a_{1}$ 不满足该式，
所以

$a_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{3}{2},}&{n=1}\\ {-\dfrac{1}{n(n+1)},}&{n\geqslant 2}\end{array}\right.$ ．
点评：本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．

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