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2021年高考数学乙卷-理20<-->2021年高考数学乙卷-理22
21．（12分）已知抛物线$C:x^{2}=2py(p>0)$的焦点为$F$，且$F$与圆$M:x^{2}+(y+4)^{2}=1$上点的距离的最小值为4．
（1）求$p$；
（2）若点$P$在$M$上，$PA$，$PB$为$C$的两条切线，$A$，$B$是切点，求$\Delta PAB$面积的最大值．
分析：（1）由点$F$到圆$M$上的点最小值为4建立关于$p$的方程，解出即可；
（2）对$y=\dfrac{1}{4}{x}^{2}$求导，由导数的几何意义可得出直线$PA$及$PB$的方程，进而得到点$P$的坐标，再将$AB$的方程与抛物线方程联立，可得$P(2k,-b)$，$\vert AB\vert$以及点$P$到直线$AB$的距离，进而表示出$\Delta PAB$的面积，再求出其最小值即可．
解：（1）点$F(0,\dfrac{p}{2})$到圆$M$上的点的距离的最小值为$\vert FM\vert -1=\dfrac{p}{2}+4-1=4$，解得$p=2$；
（2）由（1）知，抛物线的方程为$x^{2}=4y$，即$y=\dfrac{1}{4}{x}^{2}$，则${y}'=\dfrac{1}{2}x$，
设切点$A(x_{1}$，$y_{1})$，$B(x_{2}$，$y_{2})$，则易得${l}_{PA}:y=\dfrac{{x}_{1}}{2}x-\dfrac{{{x}_{1}}^{2}}{4},{l}_{PB}:y=\dfrac{{x}_{2}}{2}x-\dfrac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，从而得到$P(\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2},\dfrac{{x}_{1}{x}_{2}}{4})$，
设$l_{AB}:y=kx+b$，联立抛物线方程，消去$y$并整理可得$x^{2}-4kx-4b=0$，
$\therefore$△$=16k^{2}+16b>0$，即$k^{2}+b>0$，且$x_{1}+x_{2}=4k$，$x_{1}x_{2}=-4b$，
$\therefore P(2k,-b)$，
$\because$$\vert AB\vert =\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{16{k}^{2}+16b}$，${d}_{p \rightarrow AB}=\dfrac{\vert 2{k}^{2}+2b\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
$\therefore$${S}_{\Delta PAB}=\dfrac{1}{2}\vert AB\vert d=4({k}^{2}+b)^{\dfrac{3}{2}}$①，
又点$P(2k,-b)$在圆$M:x^{2}+(y+4)^{2}=1$上，故${k}^{2}=\dfrac{1-(b-4)^{2}}{4}$，代入①得，${S}_{\Delta PAB}=4(\dfrac{-{b}^{2}+12b-15}{4})^{\dfrac{3}{2}}$，
而$y_{p}=-b\in [-5$，$-3]$，
$\therefore$当$b=5$时，$({S}_{\Delta PAB})_{max}=20\sqrt{5}$．
点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
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