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2021年高考数学乙卷-理21

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21．（12分）已知抛物线

$C:x^{2}=2py(p>0)$ 的焦点为

$F$ ，且

$F$ 与圆

$M:x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的距离的最小值为4．
（1）求

$p$ ；
（2）若点

$P$ 在

$M$ 上，

$PA$ ，

$PB$ 为

$C$ 的两条切线，

$A$ ，

$B$ 是切点，求

$\Delta PAB$ 面积的最大值．
分析：（1）由点

$F$ 到圆

$M$ 上的点最小值为4建立关于

$p$ 的方程，解出即可；
（2）对

$y=\dfrac{1}{4}{x}^{2}$ 求导，由导数的几何意义可得出直线

$PA$ 及

$PB$ 的方程，进而得到点

$P$ 的坐标，再将

$AB$ 的方程与抛物线方程联立，可得

$P(2k,-b)$ ，

$\vert AB\vert$ 以及点

$P$ 到直线

$AB$ 的距离，进而表示出

$\Delta PAB$ 的面积，再求出其最小值即可．
解：（1）点

$F(0,\dfrac{p}{2})$ 到圆

$M$ 上的点的距离的最小值为

$\vert FM\vert -1=\dfrac{p}{2}+4-1=4$ ，解得

$p=2$ ；
（2）由（1）知，抛物线的方程为

$x^{2}=4y$ ，即

$y=\dfrac{1}{4}{x}^{2}$ ，则

${y}'=\dfrac{1}{2}x$ ，
设切点

$A(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$B(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，则易得

${l}_{PA}:y=\dfrac{{x}_{1}}{2}x-\dfrac{{{x}_{1}}^{2}}{4},{l}_{PB}:y=\dfrac{{x}_{2}}{2}x-\dfrac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$ ，从而得到

$P(\dfrac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2},\dfrac{{x}_{1}{x}_{2}}{4})$ ，
设

$l_{AB}:y=kx+b$ ，联立抛物线方程，消去

$y$ 并整理可得

$x^{2}-4kx-4b=0$ ，

$\therefore$ △

$=16k^{2}+16b>0$ ，即

$k^{2}+b>0$ ，且

$x_{1}+x_{2}=4k$ ，

$x_{1}x_{2}=-4b$ ，

$\therefore P(2k,-b)$ ，

$\because$

$\vert AB\vert =\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}\cdot \sqrt{16{k}^{2}+16b}$ ，

${d}_{p \rightarrow AB}=\dfrac{\vert 2{k}^{2}+2b\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}$ ，

$\therefore$

${S}_{\Delta PAB}=\dfrac{1}{2}\vert AB\vert d=4({k}^{2}+b)^{\dfrac{3}{2}}$ ①，
又点

$P(2k,-b)$ 在圆

$M:x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上，故

${k}^{2}=\dfrac{1-(b-4)^{2}}{4}$ ，代入①得，

${S}_{\Delta PAB}=4(\dfrac{-{b}^{2}+12b-15}{4})^{\dfrac{3}{2}}$ ，
而

$y_{p}=-b\in [-5$ ，

$-3]$ ，

$\therefore$ 当

$b=5$ 时，

$({S}_{\Delta PAB})_{max}=20\sqrt{5}$ ．
点评：本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．

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