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2021年高考数学乙卷-理17<-->2021年高考数学乙卷-理19
18．（12分）如图，四棱锥$P-ABCD$的底面是矩形，$PD\bot$底面$ABCD$，$PD=DC=1$，$M$为$BC$中点，且$PB\bot AM$．
（1）求$BC$；
（2）求二面角$A-PM-B$的正弦值．
分析：（1）连结$BD$，利用线面垂直的性质定理证明$AM\bot PD$，从而可以证明$AM\bot$平面$PBD$，得到$AM\bot BD$，证明$\rm{Rt}\Delta DAB\backsim \rm{Rt}\Delta ABM$，即可得到$BC$的长度；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
解：（1）
连结$BD$，因为$PD\bot$底面$ABCD$，且$AM\subset$平面$ABCD$，
则$AM\bot PD$，又$AM\bot PB$，$PB\bigcap PD=P$，$PB$，$PD\subset$平面$PBD$，
所以$AM\bot$平面$PBD$，又$BD\subset$平面$PBD$，则$AM\bot BD$，
所以$\angle ABD+\angle ADB=90\circ$，又$\angle ABD+\angle MAB=90\circ$，
则有$\angle ADB=\angle MAB$，所以$\rm{Rt}\Delta DAB\backsim \rm{Rt}\Delta ABM$，
则$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{BA}{BM}$，所以$\dfrac{1}{2}B{C}^{2}=1$，解得$BC=\sqrt{2}$；
（2）因为$DA$，$DC$，$DP$两两垂直，故以点$D$位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则$A(\sqrt{2},0,0),B(\sqrt{2},1,0),M(\dfrac{\sqrt{2}}{2},1,0)$，$P(0$，0，$1)$，
所以$\overrightarrow{AP}=(-\sqrt{2},0,1)$，$\overrightarrow{AM}=(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},1,0),\overrightarrow{BM}=(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0,0),\overrightarrow{BP}=(-\sqrt{2},-1,1)$，
设平面$AMP$的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+z=0}\\ {-\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+y=0}\end{array}\right.$，
令$x=\sqrt{2}$，则$y=1$，$z=2$，故$\overrightarrow{n}=(\sqrt{2},1,2)$，
设平面$BMP$的法向量为$\overrightarrow{m}=(p,q,r)$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BM}=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}p=0}\\ {-\sqrt{2}p-q+r=0}\end{array}\right.$，
令$q=1$，则$r=1$，故$\overrightarrow{m}=(0,1,1)$，
所以$\vert \cos <\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}>\vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{m}\vert }{\vert \overrightarrow{n}\vert \vert \overrightarrow{m}\vert }=\dfrac{3}{\sqrt{7}\times \sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}$，
设二面角$A-PM-B$的平面角为$\alpha$，
则$\sin \alpha =\sqrt{1-co{s}^{2}\alpha }=\sqrt{1-co{s}^{2}<\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}>}=\sqrt{1-(\dfrac{3\sqrt{14}}{14})^{2}}=\dfrac{\sqrt{70}}{14}$，
所以二面角$A-PM-B$的正弦值为$\dfrac{\sqrt{70}}{14}$．
点评：本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
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