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2021年高考数学乙卷-理17<-->2021年高考数学乙卷-理19
18．（12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．
（1）求BC；
（2）求二面角A−PM−B的正弦值．
分析：（1）连结BD，利用线面垂直的性质定理证明AM⊥PD，从而可以证明AM⊥平面PBD，得到AM⊥BD，证明RtΔDAB∽RtΔABM，即可得到BC的长度；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
解：（1）
连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB⋂PD=P，PB，PD⊂平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ABD+∠ADB=90∘，又∠ABD+∠MAB=90∘，
则有∠ADB=∠MAB，所以RtΔDAB∽RtΔABM，
则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=√2；
（2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A(√2,0,0),B(√2,1,0),M(√22,1,0)，P(0，0，1)，
所以→AP=(−√2,0,1)，→AM=(−√22,1,0),→BM=(−√22,0,0),→BP=(−√2,−1,1)，
设平面AMP的法向量为→n=(x,y,z)，
则有{→n⋅→AP=0→n⋅→AM=0，即{−√2x+z=0−√22x+y=0，
令x=√2，则y=1，z=2，故→n=(√2,1,2)，
设平面BMP的法向量为→m=(p,q,r)，
则有{→m⋅→BM=0→m⋅→BP=0，即{−√22p=0−√2p−q+r=0，
令q=1，则r=1，故→m=(0,1,1)，
所以|cos<→n,→m>|=|→n⋅→m||→n||→m|=3√7×√2=3√1414，
设二面角A−PM−B的平面角为α，
则sinα=√1−cos2α=√1−cos2<→n,→m>=√1−(3√1414)2=√7014，
所以二面角A−PM−B的正弦值为√7014．
点评：本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
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