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2021年高考数学乙卷-理11<-->2021年高考数学乙卷-理13
12．（5分）设$a=2ln1.01$，$b=ln1.02$，$c=\sqrt{1.04}-1$，则( )
A．$a<b<c$ B．$b<c<a$ C．$b<a<c$ D．$c<a<b$
分析：构造函数$f(x)=2ln(1+x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$，$0<x<1$，$h(x)=ln(1+2x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$，利用导数和函数的单调性即可判断．
解：$\because a=2ln1.01=ln1.0201$，$b=ln1.02$，
$\therefore a>b$，
令$f(x)=2ln(1+x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$，$0<x<1$，
令$\sqrt{1+4\;x}=t$，则$1<t<\sqrt{5}$
$\therefore x=\dfrac{\;{t}^{2}-1}{4}$，
$\therefore g(t)=2ln(\dfrac{{t}^{2}+3}{4})-t+1=2ln(t^{2}+3)-t+1-2ln4$，
$\therefore g\prime (t)=\dfrac{4t}{{t}^{2}+3}-1=\dfrac{4t-{t}^{2}-3}{{t}^{2}+3}=-\dfrac{(t-1)(t-3)}{{t}^{2}+3}>0$，
$\therefore g(t)$在$(1,\sqrt{5})$上单调递增，
$\therefore g(t)>g$（1）$=2ln4-1+1-2ln4=0$，
$\therefore f(x)>0$，
$\therefore a>c$，
同理令$h(x)=ln(1+2x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$，
再令$\sqrt{1+4\;x}=t$，则$1<t<\sqrt{5}$
$\therefore x=\dfrac{\;{t}^{2}-1}{4}$，
$\therefore \varphi (t)=ln(\dfrac{{t}^{2}+1}{2})-t+1=ln(t^{2}+1)-t+1-ln2$，
$\therefore \varphi \prime (t)=\dfrac{2t}{{t}^{2}+1}-1=\dfrac{-(t-1)^{2}}{{t}^{2}+1}<0$，
$\therefore \varphi (t)$在$(1,\sqrt{5})$上单调递减，
$\therefore \varphi (t)<\varphi$（1）$=ln2-1+1-ln2=0$，
$\therefore h(x)<0$，
$\therefore c>b$，
$\therefore a>c>b$．
故选：$B$．
点评：本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．
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