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2021年高考数学乙卷-理12

2021年高考数学乙卷-理11<-->2021年高考数学乙卷-理13

12．（5分）设

$a=2ln1.01$ ，

$b=ln1.02$ ，

$c=\sqrt{1.04}-1$ ，则(　　)
A．

$a<b<c$ B．

$b<c<a$ C．

$b<a<c$ D．

$c<a<b$
分析：构造函数

$f(x)=2ln(1+x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$ ，

$0<x<1$ ，

$h(x)=ln(1+2x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$ ，利用导数和函数的单调性即可判断．
解：

$\because a=2ln1.01=ln1.0201$ ，

$b=ln1.02$ ，

$\therefore a>b$ ，
令

$f(x)=2ln(1+x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$ ，

$0<x<1$ ，
令

$\sqrt{1+4\;x}=t$ ，则

$1<t<\sqrt{5}$

$\therefore x=\dfrac{\;{t}^{2}-1}{4}$ ，

$\therefore g(t)=2ln(\dfrac{{t}^{2}+3}{4})-t+1=2ln(t^{2}+3)-t+1-2ln4$ ，

$\therefore g\prime (t)=\dfrac{4t}{{t}^{2}+3}-1=\dfrac{4t-{t}^{2}-3}{{t}^{2}+3}=-\dfrac{(t-1)(t-3)}{{t}^{2}+3}>0$ ，

$\therefore g(t)$ 在

$(1,\sqrt{5})$ 上单调递增，

$\therefore g(t)>g$ （1）

$=2ln4-1+1-2ln4=0$ ，

$\therefore f(x)>0$ ，

$\therefore a>c$ ，
同理令

$h(x)=ln(1+2x)-(\sqrt{1+4\;x}-1)$ ，
再令

$\sqrt{1+4\;x}=t$ ，则

$1<t<\sqrt{5}$

$\therefore x=\dfrac{\;{t}^{2}-1}{4}$ ，

$\therefore \varphi (t)=ln(\dfrac{{t}^{2}+1}{2})-t+1=ln(t^{2}+1)-t+1-ln2$ ，

$\therefore \varphi \prime (t)=\dfrac{2t}{{t}^{2}+1}-1=\dfrac{-(t-1)^{2}}{{t}^{2}+1}<0$ ，

$\therefore \varphi (t)$ 在

$(1,\sqrt{5})$ 上单调递减，

$\therefore \varphi (t)<\varphi$ （1）

$=ln2-1+1-ln2=0$ ，

$\therefore h(x)<0$ ，

$\therefore c>b$ ，

$\therefore a>c>b$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．

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