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2021年高考数学乙卷-理10<-->2021年高考数学乙卷-理12
11．（5分）设$B$是椭圆$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$的上顶点，若$C$上的任意一点$P$都满足$\vert PB\vert \leqslant 2b$，则$C$的离心率的取值范围是( )
A．$[\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$1)$ B．$[\dfrac{1}{2}$，$1)$ C．$(0$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$ D．$(0$，$\dfrac{1}{2}]$
分析：设$P(x_{0}$，$y_{0})$，可得$\vert PB\vert ^{2}=-\dfrac{\;{c}^{2}}{{b}^{2}}y_{0}^{2}-2by_{0}+a^{2}+b^{2}$，$y_{0}\in [-b$，$b]$，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围．
解：点$B$的坐标为$(0,b)$，设$P(x_{0}$，$y_{0})$，
则$\dfrac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
$\therefore x_{0}^{2}=a^{2}(1-\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}})$，
故$\vert PB\vert ^{2}=x_{0}^{2}+(y_{0}-b)^{2}=a^{2}(1-\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}})+(y_{0}-b)^{2}=-\dfrac{\;{c}^{2}}{{b}^{2}}y_{0}^{2}-2by_{0}+a^{2}+b^{2}$，$y_{0}\in [-b$，$b]$，
又对称轴$y_{0}=-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}<0$，
当$-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}\leqslant -b$时，即$b\geqslant c$时，
则当$y_{0}=-b$时，$\vert PB\vert ^{2}$最大，此时$\vert PB\vert =2b$，
故只需要满足$-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}\leqslant -b$，即$b^{2}\geqslant c^{2}$，则$a^{2}-c^{2}\geqslant c^{2}$，
所以$e=\dfrac{c}{a}\leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
又$0<e<1$，
故$e$的范围为$(0$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$，
当$-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}>-b$时，即$b<c$时，
则当$y_{0}=-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$时，$\vert PB\vert ^{2}$最大，此时$\vert PB\vert ^{2}=\dfrac{{b}^{4}}{{c}^{2}}+a^{2}+b^{2}\leqslant 4b^{2}$，
则$a^{4}-4a^{2}c^{2}+4c^{4}\leqslant 0$，解得$a=\sqrt{2}c$，
所以$b=c$，
又$b<c$，
故不满足题意，
综上所述的$e$的范围为$(0$，$\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$，
故选：$C$．
点评：本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．
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