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2021年高考数学乙卷-理11

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11．（5分）设

$B$ 是椭圆

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若

$C$ 上的任意一点

$P$ 都满足

$\vert PB\vert \leqslant 2b$ ，则

$C$ 的离心率的取值范围是(　　)
A．

$[\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$1)$ B．

$[\dfrac{1}{2}$ ，

$1)$ C．

$(0$ ，

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$ D．

$(0$ ，

$\dfrac{1}{2}]$
分析：设

$P(x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，可得

$\vert PB\vert ^{2}=-\dfrac{\;{c}^{2}}{{b}^{2}}y_{0}^{2}-2by_{0}+a^{2}+b^{2}$ ，

$y_{0}\in [-b$ ，

$b]$ ，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围．
解：点

$B$ 的坐标为

$(0,b)$ ，设

$P(x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，
则

$\dfrac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$ ，

$\therefore x_{0}^{2}=a^{2}(1-\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}})$ ，
故

$\vert PB\vert ^{2}=x_{0}^{2}+(y_{0}-b)^{2}=a^{2}(1-\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}})+(y_{0}-b)^{2}=-\dfrac{\;{c}^{2}}{{b}^{2}}y_{0}^{2}-2by_{0}+a^{2}+b^{2}$ ，

$y_{0}\in [-b$ ，

$b]$ ，
又对称轴

$y_{0}=-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}<0$ ，
当

$-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}\leqslant -b$ 时，即

$b\geqslant c$ 时，
则当

$y_{0}=-b$ 时，

$\vert PB\vert ^{2}$ 最大，此时

$\vert PB\vert =2b$ ，
故只需要满足

$-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}\leqslant -b$ ，即

$b^{2}\geqslant c^{2}$ ，则

$a^{2}-c^{2}\geqslant c^{2}$ ，
所以

$e=\dfrac{c}{a}\leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
又

$0<e<1$ ，
故

$e$ 的范围为

$(0$ ，

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$ ，
当

$-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}>-b$ 时，即

$b<c$ 时，
则当

$y_{0}=-\dfrac{{b}^{3}}{{c}^{2}}$ 时，

$\vert PB\vert ^{2}$ 最大，此时

$\vert PB\vert ^{2}=\dfrac{{b}^{4}}{{c}^{2}}+a^{2}+b^{2}\leqslant 4b^{2}$ ，
则

$a^{4}-4a^{2}c^{2}+4c^{4}\leqslant 0$ ，解得

$a=\sqrt{2}c$ ，
所以

$b=c$ ，
又

$b<c$ ，
故不满足题意，
综上所述的

$e$ 的范围为

$(0$ ，

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$ ，
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．

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