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2020年高考数学新高考Ⅱ-7<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-9
若定义在$R$的奇函数$f(x)$在$(-\infty ,0)$单调递减，且$f(2)=0$，则满足$xf(x-1)\geqslant 0$的$x$的取值范围是( )
A．$[-1$，$1]\cup{[}3$，$+\infty )$
B．$[-3$，$-1]\cup{[}0$，$1]$
C．$[-1$，$0]\cup{[}1$，$+\infty )$
D．$[-1$，$0]\cup{[}1$，$3]$
分析：根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
解答：$\because$定义在$R$的奇函数$f(x)$在$(-\infty ,0)$单调递减，且$f(2)=0$，$f(x)$的大致图象如图：
$\therefore f(x)$在$(0,+\infty )$上单调递减，且$f(-2)=0$；
故$f(-1)<0$；
当$x=0$时，不等式$xf(x-1)\geqslant 0$成立，
当$x=1$时，不等式$xf(x-1)\geqslant 0$成立，
当$x-1=2$或$x-1=-2$时，即$x=3$或$x=-1$时，不等式$xf(x-1)\geqslant 0$成立，
当$x>0$时，不等式$xf(x-1)\geqslant 0$等价为$f(x-1)\geqslant 0$，
此时$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\ {0<x-1\leqslant 2}\end{array}\right.$，此时$1<x\leqslant 3$，
当$x<0$时，不等式$xf(x-1)\geqslant 0$等价为$f(x-1)\leqslant 0$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\ {-2\leqslant x-1<0}\end{array}\right.$，得$-1\leqslant x<0$，
综上$-1\leqslant x\leqslant 0$或$1\leqslant x\leqslant 3$，
即实数$x$的取值范围是$[-1，0]\cup[1，3]$，
故选：D．
点评：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数$f(x)$的草图，是解决本题的关键．难度中等．
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