2020年高考数学新高考Ⅱ-8 |
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2021-06-08 21:52:39 |
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若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x−1)⩾0的x的取值范围是( ) A.[−1,1]∪[3,+∞) B.[−3,−1]∪[0,1] C.[−1,0]∪[1,+∞) D.[−1,0]∪[1,3] 分析:根据函数奇偶性的性质,然后判断函数的单调性,利用分类讨论思想进行求解即可. 解答:∵定义在R的奇函数f(x)在(-\infty ,0)单调递减,且f(2)=0,f(x)的大致图象如图:
 \therefore f(x)在(0,+\infty )上单调递减,且f(-2)=0; 故f(-1)<0; 当x=0时,不等式xf(x-1)\geqslant 0成立, 当x=1时,不等式xf(x-1)\geqslant 0成立, 当x-1=2或x-1=-2时,即x=3或x=-1时,不等式xf(x-1)\geqslant 0成立, 当x>0时,不等式xf(x-1)\geqslant 0等价为f(x-1)\geqslant 0, 此时\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\ {0<x-1\leqslant 2}\end{array}\right.,此时1<x\leqslant 3, 当x<0时,不等式xf(x-1)\geqslant 0等价为f(x-1)\leqslant 0, 即\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\ {-2\leqslant x-1<0}\end{array}\right.,得-1\leqslant x<0, 综上-1\leqslant x\leqslant 0或1\leqslant x\leqslant 3, 即实数x的取值范围是[-1,0]\cup[1,3], 故选:D. 点评:本题主要考查不等式的求解,结合函数奇偶性的性质,作出函数f(x)的草图,是解决本题的关键.难度中等.
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