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2020年高考数学新高考Ⅱ-8

  2021-06-08 21:52:39  

若定义在R的奇函数f(x)(,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x1)0x的取值范围是(  )
A.[11][3+)              
B.[31][01]              
C.[10][1+)              
D.[10][13]
分析:根据函数奇偶性的性质,然后判断函数的单调性,利用分类讨论思想进行求解即可.
解答:定义在R的奇函数f(x)(-\infty ,0)单调递减,且f(2)=0f(x)的大致图象如图:

\therefore f(x)(0,+\infty )上单调递减,且f(-2)=0
f(-1)<0
x=0时,不等式xf(x-1)\geqslant 0成立,
x=1时,不等式xf(x-1)\geqslant 0成立,
x-1=2x-1=-2时,即x=3x=-1时,不等式xf(x-1)\geqslant 0成立,
x>0时,不等式xf(x-1)\geqslant 0等价为f(x-1)\geqslant 0
此时\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\ {0<x-1\leqslant 2}\end{array}\right.,此时1<x\leqslant 3
x<0时,不等式xf(x-1)\geqslant 0等价为f(x-1)\leqslant 0
\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\ {-2\leqslant x-1<0}\end{array}\right.,得-1\leqslant x<0
综上-1\leqslant x\leqslant 01\leqslant x\leqslant 3
即实数x的取值范围是[-1,0]\cup[1,3]
故选:D.
点评:本题主要考查不等式的求解,结合函数奇偶性的性质,作出函数f(x)的草图,是解决本题的关键.难度中等.

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