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2020年高考数学新高考Ⅱ-6<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-8
已知函数$f(x)=\lg(x^{2}-4x-5)$在$(a,+\infty )$上单调递增，则$a$的取值范围是( )
A．$(2,+\infty )$
B．$[2，+\infty )$
C．$(5,+\infty )$
D．$[5，+\infty )$
分析：由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令$t=x^{2}-4x-5$，由外层函数$y=\lg t$是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数$f(x)=\lg(x^{2}-4x-5)$在$(a,+\infty )$上单调递增，需内层函数$t=x^{2}-4x-5$在$(a,+\infty )$上单调递增且恒大于0，转化为$(a$，$+\infty )\subseteq (5$，$+\infty )$，即可得到$a$的范围．
解答：由$x^{2}-4x-5>0$，得$x<-1$或$x>5$．
令$t=x^{2}-4x-5$，
$\because$外层函数$y=\lg t$是其定义域内的增函数，
$\therefore$要使函数$f(x)=\lg(x^{2}-4x-5)$在$(a,+\infty )$上单调递增，
则需内层函数$t=x^{2}-4x-5$在$(a,+\infty )$上单调递增且恒大于0，
则$(a$，$+\infty )\subseteq (5$，$+\infty )$，即$a\geqslant 5$．
$\therefore a$的取值范围是$[5，+\infty )$．
故选：D．
点评：本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
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