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2018年高考数学北京--理19

(2018北京卷计算题)

已知抛物线经过点,过点的直线与抛物线有两个不同的交点,且直线轴于,直线轴于

(Ⅰ)求直线的斜率的取值范围;

(Ⅱ)设为原点,,求证:为定值。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第19题
【答案】

(Ⅰ)因为抛物线经过点,所以,所以

所以抛物线的解析式为

又因为直线过点,且直线与抛物线有两个不同的交点,

易知直线斜率存在且不为

故可设直线的方程式为

根据题意可知直线不能过点

所以直线的斜率

若直线与抛物线的一个交点为

此时该点与点所在的直线斜率不存在,则该直线与轴无交点,与题目条件矛盾,

此时,所以直线斜率

联立方程

因为直线与抛物线有两个不同的交点,

所以,所以

故直线的斜率的取值范围是

(Ⅱ)证明:设点,则

因为,所以,故

同理

直线的方程为

,得①,

同理可得②,

因为③,

将①②代入③可得,

又由根与系数的关系:

所以

所以为定值。

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线。

(Ⅰ)由题意易得直线斜率存在且不为,且直线斜率存在,设出直线方程,并联立抛物线方程,根据交点有两个,得出,解不等式即可得直线斜率的范围。

(Ⅱ)根据,得出与点坐标之间的关系,

再根据在同一直线上,在同一直线上,得出与点坐标之间的关系,

根据(Ⅰ)中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系,对原式进行化简,即可得为定值

【考点】
直线与圆锥曲线
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