2018年高考数学北京--理18<-->2018年高考数学北京--理20
已知抛物线:经过点,过点的直线与抛物线有两个不同的交点,,且直线交轴于,直线交轴于。
(Ⅰ)求直线的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设为原点,,,求证:为定值。
(Ⅰ)因为抛物线:经过点,所以,所以,
所以抛物线的解析式为。
又因为直线过点,且直线与抛物线有两个不同的交点,
易知直线斜率存在且不为,
故可设直线的方程式为。
根据题意可知直线不能过点,
所以直线的斜率。
若直线与抛物线的一个交点为,
此时该点与点所在的直线斜率不存在,则该直线与轴无交点,与题目条件矛盾,
此时,所以直线斜率。
联立方程得,
因为直线与抛物线有两个不同的交点,
所以,所以。
故直线的斜率的取值范围是且且。
(Ⅱ)证明:设点,,则,,
因为,所以,故,
同理,
设,
直线的方程为,
令,得①,
同理可得②,
因为③,
将①②代入③可得,
又由根与系数的关系:,,
所以,
所以为定值。
本题主要考查直线与圆锥曲线。
(Ⅰ)由题意易得直线斜率存在且不为,且直线、斜率存在,设出直线方程,并联立抛物线方程,根据交点有两个,得出,解不等式即可得直线斜率的范围。
(Ⅱ)根据,,得出、与点、坐标之间的关系,
再根据、、在同一直线上,、、在同一直线上,得出、与点、坐标之间的关系,
根据(Ⅰ)中联立所得的方程得出点、横坐标之间的关系,对原式进行化简,即可得为定值。
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