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2018年高考数学北京--理20

(2018北京卷计算题)

为正整数,集合,对于集合中的任意元素,记

(Ⅰ)当时,若,求的值;

(Ⅱ)当时,设的子集,且满足:对于中的任意元素,当相同时,是奇数;当不同时,是偶数。求集合中元素个数的最大值;

(Ⅲ)给定不小于,设的子集,且满足:对于中的任意两个不同的元素。写出一个集合,使其元素个数最多,并说明理由。

【出处】
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)考虑数对只有四种情况:

相应的分别为

所以中的每个元素应有奇数个

所以中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素):

对于任意两个只有的元素都满足是偶数,

所以集合满足题意,

假设中元素个数大于等于,就至少有一对互补元素,

除了这对互补元素之外还有至少个含有的元素

则互补元素中含有的元素与之满足不合题意,

中元素个数的最大值为

(Ⅲ)

此时中有个元素,下证其为最大。

对于任意两个不同的元素满足

中相同位置上的数字不能同时为

假设存在有多于个元素,由于与任意元素都有

所以除外至少有个元素含有

根据元素的互异性,至少存在一对满足

此时不满足题意,

中最多有个元素。

【解析】

本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系。

(Ⅰ)直接根据定义计算。

(Ⅱ)注意到的个数的奇偶性,根据定义反证证明。

(Ⅲ)根据抽屉原理即可得证。

【考点】
集合的含义及表示集合的基本关系集合的基本运算
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