2018年高考数学北京--理19<-->返回列表
设为正整数,集合,对于集合中的任意元素和,记
。
(Ⅰ)当时,若,,求和的值;
(Ⅱ)当时,设是的子集,且满足:对于中的任意元素,,当,相同时,是奇数;当,不同时,是偶数。求集合中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于的,设是的子集,且满足:对于中的任意两个不同的元素,,。写出一个集合,使其元素个数最多,并说明理由。
(Ⅰ),。
(Ⅱ)考虑数对只有四种情况:、、、,
相应的分别为、、、,
所以中的每个元素应有奇数个,
所以中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素):
、、、,
对于任意两个只有个的元素,都满足是偶数,
所以集合、、、满足题意,
假设中元素个数大于等于,就至少有一对互补元素,
除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素,
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意,
故中元素个数的最大值为。
(Ⅲ)
,
此时中有个元素,下证其为最大。
对于任意两个不同的元素,满足,
则,中相同位置上的数字不能同时为,
假设存在有多于个元素,由于与任意元素都有,
所以除外至少有个元素含有,
根据元素的互异性,至少存在一对,满足,
此时不满足题意,
故中最多有个元素。
本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系。
(Ⅰ)直接根据定义计算。
(Ⅱ)注意到的个数的奇偶性,根据定义反证证明。
(Ⅲ)根据抽屉原理即可得证。
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