2015年高考数学江苏16<-->2015年高考数学江苏18
（本小题满分14分）
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，，为的两个端点，测得点到，的距离分别为千米和千米，点到，的距离分别为千米和千米，以，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中，为常数）模型。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设公路与曲线相切于点，的横坐标为；
（ⅰ）请写出公路长度的函数解析式，并写出其定域；
（ⅱ）当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度。
（Ⅰ）由题意得，，，代入曲线的表达式，解得。
（Ⅱ）（ⅰ）曲线方程为，在点的切线的斜率为，则在点的切线方程为，设直线的横纵截距分别为、，因此，。
（ⅱ）。，当且仅当，即，时，上述等号成立，所以公路最短为。
本题主要考查函数模型及其应用。
（Ⅰ）根据题意中建立的直角坐标系，写出，的坐标，代入曲线的表达式，可求出，的值。
（Ⅱ）（ⅰ）对曲线的方程求导，得到在点的切线的斜率，根据直线的点斜式写出在点的切线方程，得到该直线交，轴坐标，根据两点距离公式即可得到公路长度的函数解析式。
（ⅱ）根据均值不等式求出的最小值，即可得到取得最小值的值和最短距离。
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