2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第18题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第20题
（本小题满分13分）
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为。
（1）求椭圆的方程。
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
（1）因为，
即，
又，
所以，。
又因为，即，所以，
所以。
故椭圆的方程是。
（2）由，得。
因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，所以且，
即，化简得
此时，，所以。
由得。
假设平面内存在定点满足条件，因为对于任意以为直径的圆恒过定点，所以当平行于轴时，圆也过定点，即此时点坐标为或，由图形对称性知两个圆在轴上过相同的交点，即点必在轴上。
设，则对满足式的，恒成立。
因为，，由，
得，
整理，得
由于式对满足式的，恒成立，所以解得。
故存在定点，使得以为直径的圆恒过点。
本题中根据对称性确定如果存在满足条件的点，则必在轴上，这一点是重点。
本题主要考查对圆锥曲线的基本概念的理解。
（1）根据已知条件给出的离心率，可知的相互关系。再利用的周长为8这个已知条件，最后求解。
（2）假设存在，则分别联立两条直线与椭圆的方程。表示出点、的坐标值，然后代入求出的坐标。
全网搜索"2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题"相关
