2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第21题
（本小题满分14分）
已知函数。
（1）若曲线在点处的切线平行（或重合）于轴，求函数的单调区间；
（2）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
（1）由于，曲线在点处切线斜率，所以，即。
此时，由得。
当时，有；当时，有。
所以的单调递减区间为，单调递增区间为。
说明：原题为平行于轴，并无重合，但求出切线后，发现和轴重合。
（2）设点，曲线在点处的切线方程为，
令，则“曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点”等价于“函数有唯一零点”。
因为，且。
（i）若，当时，，则时，；
当时，，则时，。故只有唯一零点。
由的任意性，不合题意。
（ii）若，令，则，。
令，得，记，则当时，，从而在内单调递减；
当时，，从而在内单调递增。
①若，由时，；
时，。
知在上单调递增。
所以函数在上有且只有一个零点。
②若，由于在内单调递增，且，则当时有
，；
任取有。
又当时，易知
其中，。
由于，则必存在，使得。
所以，故在内存在零点。即在上至少有两个零点。
③若，仿②并利用，可证函数在上至少有两个零点。
综上所述，当时，曲线上存在唯一点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。
曲线的切线不一定只与曲线有一个交点，这是这道题提示我们的，即切线只是局部逼近。根据题意列出切线方程，与函数方程作差，得到一个函数（含参），我们分析它的零点个数即可确定交点个数。设切点为，由于在切点处，我们希望的单调性满足使其只有一个根。，记为，则，这个时候，单调性应该已经了然了（因为它的正负号容易判断）。若，则，即在定义域上单调递增，又由，此时可以判断的单调性；若，则在各个区间上的正负号可以得出，从而判断的单调性，又结合，可知要对区间端点与作分类讨论，得出的单调性。最后结合单调性和各端点的值判断的零点的个数。
本题主要考查导数在函数中的应用。
（1）利用在切线斜率为0求出值，从而利用导函数和极值点求出单调区间；
（2）设出切线的方程，并对进行分类讨论，联立方程，讨论方程只有一个解的情况，从而求解出的取值范围。
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